# Limit and Shakedown Analysis of Structures under Stochastic Conditions

The plastic collapse limit and the shakedown limit are important limit states in modern ultimate limit state design. Due to the high expenses of experimental setups and the time consuming full elastic-plastic cyclic loading analysis, the determination of these limits by means of numerically direct plasticity methods has been of great interest to many designers. Limit and shakedown analysis solve the plasticity problems by mathematical programming. If the characteristics of structures such as strength and loads are considered as random variables, shakedown analysis can be stated as a stochastic programming problem. The thesis contributes an approach to show that direct structural reliability design can be achieved on the basis of the required failure probabilities by chance constrained programming, which is an effective approach in stochastic programming. In the general case this is a hard problem because probabilities have to be calculated as high dimensional integrals during the optimization algorithm. The thesis developed successfully three algorithms to treat large-scale shakedown analysis problems with random strength and load variables. For random loads or the case of random strength and loads a kinematic algorithm (algorithm A1) has been developed. It allows to compute limit and shakedown loads for deterministic strength and loads; random strength with normal or lognormal distribution and normally distributed loads. Algorithm A2 has been developed to calculate lower bound and upper bound shakedown loads simultaneously in case of random strength random and deterministic loads acting on the structure. Algorithm A3 is a dual algorithm permitting the computation of limit and shakedown loads of a Kirchhoff plate under uncertain conditions of strength. The First Order Reliability Method (FORM) is used for an independent check of the chance constrained programming solutions. If the deterministic problem has an analytical solution and strength and load are both either normally or lognormally distributed, then the so-called reliability index can also be computed analytically and the failure probability obtained. The latter is the starting point of the probabilistic limit state design proposed in this dissertation.

Die plastische Kollaps- und die Einspielgrenze sind wichtige Grenzzustände beim modernen Tragfähigkeitsnachweis. Aufgrund des hohen Aufwands von Versuchsaufbauten und der zeitaufwendigen vollständigen elastisch-plastischen zyklischen Belastungsanalyse ist die Bestimmung dieser Grenzen mittels numerischer direkter Plastizitätsmethoden für viele Konstrukteure von großem Interesse. Traglast- und Einspielanalyse lösen Plastizitätsprobleme durch mathematische Programmierung. Wenn die Eigenschaften von Strukturen wie Festigkeit und Belastung als Zufallsvariablen betrachtet werden, kann die Einspielanalyse als stochastisches Programmierproblem formuliert werden. Die Dissertation entwickelt einen Ansatz, mit dem eine direkte probabilistische Bemessung auf der Grundlage der erforderlichen Versagenswahrscheinlichkeiten erreicht werden kann durch wahrscheinlichkeitsrestringierte Programmierung, die ein effektiver Ansatz in der stochastischen Programmierung ist. Im Allgemeinen ist dies ein schwieriges Problem, da Wahrscheinlichkeiten als hochdimensionale Integrale während des Optimierungsalgorithmus berechnet werden müssen. Es wurden erfolgreich drei Algorithmen zur Behandlung von großen Einspielanalyse-Problemen mit zufälligen Variablen für Festigkeit und Belastung entwickelt: Für zufällige Festigkeiten und/oder Lasten wurde ein kinematischer Algorithmus (Algorithmus A1) entwickelt. Er erlaubt die Berechnung von Traglast und Einspiellasten für deterministische Festigkeiten und Belastungen; zufällige Festigkeiten mit Normal- oder Lognormalverteilung und normalverteilte Belastungen. Algorithmus A2 wurde entwickelt, um bei zufälligen und deterministischen Belastungen, die auf die Struktur einwirken, gleichzeitig die untere und obere Grenze der Einspiellast zu berechnen. Algorithmus A3 ist ein dualer Algorithmus, der die Berechnung von Traglast und Einspiellasten einer Kirchhoff-Platte unter ungewissen Festigkeitsbedingungen ermöglicht. Die First Order Reliability Method (FORM) wird für eine unabhängige Überprüfung der Lösung der wahrscheinlichkeitsrestringierten Programmierung verwendet. Hat das deterministische Problem eine analytische Lösung und sind Festigkeit und Belastung beide entweder normal oder lognormal verteilt, so kann auch der sogenannte Zuverlässigkeitsindex analytisch berechnet und die Versagenswahrscheinlichkeit ermittelt werden. Letztere ist Startpunkt des in dieser Dissertation vorgeschlagenen probabilistischen Grenzzustandsentwurfs.

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Tran, N.T., 2019. Limit and Shakedown Analysis of Structures under Stochastic Conditions. https://doi.org/10.24355/dbbs.084-201902121135-0

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