Enumeration of class 2 associative algebras over finite fields

Wesche, Morten

The aim of this thesis is the enumeration of isomorphism types of nilpotent associative finite dimensional algebras of class 2 with finite rank over finite fields. The dimension of an algebra is the dimension as a vector space, the rank is its minimal number of generators as an algebra. We consider the number of isomorphism types as a function in the field size of the underlying finite fields. The dimension and the rank are parameters of this function. We show that for fixed rank and dimension the function is PORC (Polynomial On Residue Classes). The term PORC function was introduced by Graham Higman and is a generalisation of polynomial functions. Additionally, we describe an algorithm which computes for a given rank and a given dimension the PORC function as function in the field size. For this purpose we translate our problem of counting isomorphism types into an orbit-stabiliser-problem such that the counting lemma of Burnside, Cauchy and Frobenius can be applied. We see that this orbit-stabiliser-problem deals with the general linear group acting on a suitable set. The rank of the general linear group agrees with the rank of the algebras. The key-point then is to formulate this lemma independently from the underlying field. For this purpose we use so-called types of matrices. Using our algorithm we compute the PORC functions for small ranks, but for all depending dimensions. We also give a conjecture on the degrees of the PORC functions.

Das Ziel dieser Arbeit ist das Zählen der Isomorphietypen von nilpotenten assoziativen Algebren der Klasse 2, welche endliche Dimension und endlichen Rang haben und über endlichen Körpern definiert sind. Dabei ist die Dimension einer Algebra die Dimension aufgefasst als Vektorraum; Der Rang ist die minimale Anzahl an Erzeugern als Algebra. Wir betrachten die Anzahl an Isomorphietypen als eine Funktion in der Anzahl der Körperelemente und betrachten die Dimension und den Rang als Parameter. Wir zeigen, dass für fest gewählten Rang und fest gewählte Dimension die Funktion PORC ist. PORC ist ein Akronym und steht für Polynomial On Residue Classes, was sich mit Polynom auf Restklassen übersetzen lässt. Die Bezeichnung PORC Funktion wurde von Graham Higman eingeführt und verallgemeinert den Begriff der Polynomfunktion. Des Weiteren beschreiben wir einen Algorithmus, der für gegebenen Rang und gegebene Dimension die PORC Funktion als Funktion in der Anzahl der Körperelemente berechnet. Dazu übersetzen wir das Problem des Zählens von Isomorphietypen in ein Bahn-Stabilisator-Problem, sodass das Zähllemma von Burnside, Cauchy und Frobenius angewendet werden kann. Wir sehen, dass in unserem Fall die allgemeine lineare Gruppe des endlichen Körpers auf einer geeigneten Menge operiert. Der Rang der allgemeinen linearen Gruppe ist durch den Rang der Algebren gegeben. Ein wichtiger Schritt ist eine Formulierung das Zähllemmas, welche unabhängig vom zu Grunde liegenden Körper ist. Für diesen Zweck nutzen wir die sogenannten Typen von Matrizen. Schließlich nutzen wir den Algorithmus, um die PORC Funktionen für kleine Ränge, aber alle davon abhängigen Dimensionen zu berechnen. Wir formulieren außerdem eine Vermutung an die Grade der auftretenden Funktionen.

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Wesche, Morten: Enumeration of class 2 associative algebras over finite fields. 2018.

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