Zum Isomorphieproblem der torsionsfreien, endlich erzeugten, nilpotenten Gruppen

Engel, Ann-Kristin

Gruppen kann man durch Präsentationen darstellen. Die Frage, ob zwei Präsentationen isomorphe Gruppen beschreiben oder nicht, wird das Isomorphieproblem genannt (Dehn). Für endlich erzeugte, torsionsfreie, nilpotente Gruppen, sog. T-Gruppen, ist das Isomorphieproblem entscheidbar (Grunewald und Segal). Allerdings ist es schwierig, diesen Algorithmus in die Praxis umzusetzen. Einen praktikablen Algorithmus zur Lösung des Isomorphieproblems für gewisse T-Gruppen der Nilpotenzklasse 2, darunter diejenigen der Hirschlänge höchstens 5, liefert eine Arbeit von Grunewald und Scharlau. Das Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung einer allgemeinen, praktikablen Methode für die restlichen T-Gruppen der Hirschlänge höchstens 5. Dabei erhält man für jede dieser Gruppen eine kanonische Form, d.h. eine Präsentation, die für den Isomorphietyp eindeutig ist. Dabei werden diese T-Gruppen bis auf Isomorphie klassifiziert. Wir definieren eine Invariante für T-Gruppen, die uns deren Untersuchung erleichtert. Dieser Typ einer T-Gruppe gibt Aufschluss über ihre innere Struktur und wird durch die Ränge der Faktoren der Isolatorreihe beschrieben. Wir betrachten eine Präsentation, die durch einen ganzzahligen Vektor t der Länge n über 3 beschrieben wird. Die dadurch definierte Gruppe bezeichnen wir mit G(t). Wir zeigen: Zu jeder T-Gruppe G der Hirschlänge n gibt es einen solchen Vektor t für den G isomorph zu der durch t definierten Gruppe G(t) ist. Sei G eine T-Gruppe der Hirschlänge n höchstens 5 und der Nilpotenzklasse mindestens 3. Sei T(G) die Menge aller Vektoren der Länge n über 3 für die G isomorph zu G(t) ist. T(G) beschreibt den Isomorphietyp von G vollständig. Wir definieren einen eindeutigen kanonischen Vektor in T(G), der diesen Isomorphietyp repräsentiert. Insbesondere wird ein (implementierbarer) Algorithmus beschrieben, um zu einem beliebigen Vektor t den kanonischen Vektor Cf(t) zu berechnen. Mit den Ergebnissen von Grunewald und Scharlau, erhält man: Zwei T-Gruppen G und H der Hirschlänge höchstens 5 sind genau dann isomorph, wenn sie den selben Typ haben und ihre kanonische Form übereinstimmt. Ein weiteres Ergebnis dieser Arbeit ist die Beschreibung der Automorphismengruppe einer T-Gruppe der Hirschlänge höchstens 5. Wir betrachten auch noch die T-Gruppen des Typs (n,1,1),n>3. Für diese haben wir zwar keine kanonische Form, aber ein Verfahren entwickelt, das zu einer gegebenen Präsentation eine weitere mit gleichen oder betragsmäßig kleineren Exponenten berechnet.

Groups can be described by presentations. The issue if two given presentations describe isomorphic groups or not is called the isomorphism problem (Dehn). For finitely presented, torsion-free, nilpotent groups, so called T-groups, this problem is decidable (Grunewald and Segal). But it is really hard to use this algorithm in practice. A practical algorithm to solve the isomorphism problem for certain T-groups of class 2, including these ones of Hirsch length at most 5, is given by Grunewald and Scharlau. Our aim is to develop an arbitrary, practical method for the remaining groups of Hirsch length at most 5. Along the way we get for each of these groups a canonical form. I.e., a presentation, which is unique for each isomorphism type. In particular we classify these groups up to isomorphism. We define an invariant for T-groups to ease our examinations. This type of a T-group is given by the ranks of the factors of the isolator series. It reveals information about the inner structure of such a group. We regard a presentation given by an integral vector t of length n over 3. The group defined on this way is denoted by G(t). We prove: For each group G exists such a vector t, so that G is isomorphic to G(t). Let G be a group of Hirsch length n at most 5 and class at least 3. Let T(G) be the set of all integral vectors of length n over 3 implying that G is isomorphic to G(t). With T(G) the isomorphism type of G is given completely. Now we define an unique canonical vector in T(G) representing this isomorphism type. In particular we describe an algorithm, which can be implemented easily, to compute for an arbitrary vector t the canonical vector cf(t). Including the results of Grunewald and Scharlau, we receive: Two T groups G and H of Hirsch length at most 5 are isomorphic if and only if there types and there canonical forms coincide. Another result of this peace of work is a description of the automorphism group for each T-groups of Hirsch length at most 5. Moreover, we have a look on the T-groups of type (n,1,1), n>3. For these groups we do not construct a canonical form, but a procedure to compute to a given presentation another one with nicer exponents.

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Engel, Ann-Kristin: Zum Isomorphieproblem der torsionsfreien, endlich erzeugten, nilpotenten Gruppen. 2016.

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