Coclass theory for nilpotent associative algebras

Moede, Tobias

Koklassentheorie für endliche p-Gruppen wurde 1980 von Leedham-Green & Newman eingeführt. Sie ist seitdem zu einem sehr erfolgreichen Ansatz in der Untersuchung von endlichen p-Gruppen geworden. Das Hauptziel dieser Arbeit ist es, eine Koklassentheorie für nilpotente assoziative Algebren über Körpern zu entwickeln und somit weitere Einblicke in deren Struktur zu bekommen. Ein wichtiges Werkzeug sind die Koklassengraphen, die zu den assoziativen F-Algebren einer festen Koklasse r gehören. Wir betrachten verschiedene wichtige Eigenschaften dieser Graphen. Außerdem geben wir eine vollständige Strukturbeschreibung für die inversen Limites, die zu unendlichen Pfaden in den Koklassengraphen gehören. Darauf aufbauend beweisen wir, dass die Anzahl der Äquivalenzklassen von unendlichen Pfaden in einem Koklassengraphen endlich ist, genau dann wenn r kleiner oder gleich 1 ist oder der Körper endlich ist. Ein Koklassengraph ist die disjunkte Vereinigung seiner maximalen Nachfolgerbäume. Wir beweisen, dass die Wurzel eines maximalen Nachfolgerbaums in einem Koklassengraphen für Koklasse r maximal Dimension 2r hat. Die maximalen Nachfolgerbäume können entweder keinen, einen oder mehrere unendliche, an den Wurzeln der Bäume beginnende, Pfade enthalten. Ein Koklassenbaum ist so definiert, dass er genau einen unendlichen, an der Wurzel beginnenden, Pfad enthält. Es wird gezeigt, dass jeder maximale Koklassenbaum beschränkte Tiefe hat, d.h., es gibt eine nichtnegative Zahl c, so dass für jede Algebra in dem maximalen Koklassenbaum der Abstand zu einer Algebra auf dem eindeutigen unendlichen Pfad höchstens c ist. Wir zeigen, dass ein Koklassengraph über einem endlichen Körper aus endlich vielen maximalen Koklassenbäumen und endlich vielen anderen Knoten besteht. Das macht Koklassengraphen über endlichen Körpern zugänglich für Computerexperimente mit Hilfe der in der Arbeit entwickelten Algorithmen. In den experimentellen Daten lässt sich bemerkenswerterweise in allen berechneten Koklassenbäumen ein periodisches Verhalten erkennen. Auf Basis dieser Beobachtung stellen wir die Vermutung auf, dass für einen fest gewählten, endlichen Körper und feste Koklasse r alle Algebren im zugehörigen Koklassengraphen durch endlich viele parametrisierte Präsentationen beschrieben werden können. Wir beweisen diese Periodizitätsvermutung für r=0 und r=1.

Coclass theory for finite p-groups was introduced by Leedham-Green & Newman in 1980 and has become a very fruitful approach in the investigation of finite p-groups yielding many interesting results. The central aim of this thesis is to initiate a coclass theory for nilpotent associative algebras over fields and hence to gain further insight into their structure. An essential tool in our investigation are the coclass graphs associated to the nilpotent associative F-algebras of a fixed coclass r. We consider several important features of these graphs. We give a complete structure description of the inverse limits associated to the infinite paths in the coclass graphs. Using this structure description we prove that the number of equivalence classes of infinite paths in a coclass graph is finite if and only if r is less or equal than one or the underlying field is finite. A coclass graph is the disjoint union of its maximal descendant trees. We prove that the root of a maximal descendant tree in a coclass graph for coclass r has dimension bounded by 2r. Each maximal descendant tree can contain either zero, one or several infinite paths starting at its root. A coclass tree is defined to contain exactly one infinite path starting at its root. It is shown that each maximal coclass tree has bounded depth, i.e. there is a non-negative integer c, such that for every algebra in the maximal coclass tree the distance to an algebra on the unique infinite path is at most c. We prove that for finite fields a coclass graph consists of finitely many maximal coclass trees and finitely many other vertices. This made coclass graphs over finite fields accessible for computational experiments using the algorithms we present. The striking observation in the experimental data is that all coclass trees in our examples exhibit a periodic pattern. Based on this observation we conjecture that for a fixed finite field and a fixed non-negative integer r all algebras in the associated coclass graphs can be described by finitely many parametrized presentations. We prove this periodicity conjecture for r=0 and r=1.

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Moede, Tobias: Coclass theory for nilpotent associative algebras. 2016.

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