Infinite-dimensional and continuous-time moving average processes

Spangenberg, Wilhelm Christoph Felix

Diese Dissertation besteht aus zwei Teilen, die sich beide mit Fragestellungen aus der Zeitreihenanalyse beschäftigen. In Kapitel 2 studieren wir notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von strikt stationären Lösungen von ARMA-Gleichungen in einem separablen, komplexen Banachraum. Zuerst erhalten wir Bedingungen für ARMA(1,q)-Gleichungen, indem wir die Null und den Einheitskreis vom Spektrum des Operators des AR-Teils ausschließen, wobei wir eine Zerlegung benutzen, die ähnlich zur Jordanzerlegung von Matrizen ist. Wir erweitern dies dann auf ARMA(p,q)-Gleichungen, indem wir eine Zustandsraumdarstellung eines ARMA(p,q)-Prozesses als einen ARMA(1,q)-Prozess benutzen. Wir zeigen außerdem, dass viele ARMA-Prozesse in Banachräumen eine Moving-Average-Prozess-Darstellung besitzen, wobei die Koeffizienten als Koeffizienten einer Laurentreihe berechnet werden können. Schließlich diskutieren wir mehrere Beispiele, die illustrieren, was passieren kann, wenn man die Annahmen weglässt, die wir getroffen haben. In Kapitel 3 studieren wir das asymptotische Verhalten des Kovarianzschätzers für einen zeitstetigen Moving-Average-Prozess mit Long-Memory. Wir wählen die Kernelfunktion polynomiell langsam bei unendlich fallend, sodass der zeitstetige Moving-Average-Prozess die Long-Memory-Eigenschaft zeigt. Wir zeigen dann, dass der Kovarianzschätzer abhängig von der Geschwindigkeit des polynomiellen Abfalls der Kernelfunktion und vom Tailverhalten des treibenden Levy-Prozesses asymptotisch Rosenblatt-, stabil- oder normalverteilt ist.

This thesis consists of two parts both dealing with topics in time series analysis. In Chapter 2 we study necessary and sufficient conditions for the existence of strictly stationary solutions of ARMA equations in a separable complex Banach space. First, we obtain conditions for ARMA(1,q) equations by excluding zero and the unit circle from the spectrum of the operator of the AR part, where we use a decomposition similar to the Jordan decomposition of matrices. We then extend this to ARMA(p,q) equations by using a state space representation of an ARMA(p,q) process as an ARMA(1,q) process. We also show that many ARMA processes in Banach spaces possess a moving average process representation where the coefficients can be calculated as the coefficients of a Laurent series. Finally, we discuss various examples illustrating what may happen if one drops the assumptions we made. In Chapter 3 we study the asymptotic behaviour of the covariance estimator for a continuous-time moving average process with long memory. We choose the kernel function to be decaying polynomially slowly at infinity such that the continuous-time moving average process exhibits the long-memory property. We then show, depending on the speed of the polynomial decay of the kernel function and on the tail behaviour of the driving Levy process, that the covariance estimator is asymptotically Rosenblatt, stable or normal distributed.

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Spangenberg, Wilhelm Christoph Felix: Infinite-dimensional and continuous-time moving average processes. 2015.

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