Zweidimensionale klassische und diskrete orthogonale Polynome und ihre Anwendung auf spektrale Methoden zur Lösung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen

Öffner, Philipp

Orthogonale Polynome finden in zahlreichen Teilgebieten der Mathematik Anwendungen. Unter anderem verwendet man orthogonale Polynome in numerischen Verfahren zur Berechnung von Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Hilfe spektraler Methoden. Bei spektralen Methoden wird die gesuchte Lösung mittels einer endlichen Linearkombination von Basiselementen eines vorher gewählten Funktionenraums approximiert. Aus Konvergenz- und Effizienzgründen verwendet man Fourier-Summen von orthogonalen Polynomen bei der Approximation. In der Arbeit erweitern wir die Theorie spektraler Methoden um klassische orthogonale Polynome auf Dreiecken und beweisen neue Approximationsresultate. Hierfür stellen wir einige neue grundlegende Abschätzungen der Polynome zur Verfügung. Die Theorie hyperbolischer Erhaltungsgleichungen lässt unstetige Lösungen zu und dies stellt eine zusätzliche Anforderung an das numerische Verfahren. Verwendet man Fourier-Summen von orthogonalen Polynomen zur Approximation, kommt es bei den Sprungunstetigkeiten zu Oszillationen und diese können zu Stabilitätsproblemen im numerischen Verfahren führen. Um diese Oszillationen abzuschwächen, verwenden wir modale Filter. Diese wirken direkt auf die hochfrequenten Fourier-Koeffizienten und dämpfen somit die Oszillation. Wir beweisen Approximationresultate für die gefilterte Reihenentwicklung und konstruieren einen natürlichen modalen Filter für jede Polynomfamilie. Wir erweitern anschließend ein bekanntes Spektrale-Differenzen-Verfahren mittels der orthogonalen Polynome auf Dreiecken und ihres Filters. In zwei numerischen Testfällen überprüfen wir die Erweiterung und stellen dabei fest, dass sich die Wahl der Polynomfamilie und ihres Filters positiv auf die Stabilität des Verfahrens auswirken kann. In dem letzten Kapitel motivieren wir, warum man sich im Zuge der spektralen Verfahren auch mit diskreten orthogonalen Polynomen beschäftigen sollte. Wir betrachten die Hahn-Polynome als Beispiel diskreter orthogonaler Polynome und zeigen spektrale Konvergenz in den Koeffizienten für die Hahn-Reihenentwicklung. Anschließend erklären wir noch die Problematik bei Verwendung dieser Polynome, welche ihren Ursprung in der äquidistanten Punkteverteilung hat. Wir schlagen hierfür noch mögliche Lösungsansätze vor.

Orthogonal polynomials have applications in many mathematical areas, including partial differential equations. They are used in spectral methods to solve partial differential equations and especially hyperbolic conservation laws. In spectral methods linear combinations of orthogonal polynomials are exploited to approximate the numerical solution. In this thesis we extend the theory of spectral methods using orthogonal polynomials on triangles and prove new approximation results. Therefore we consider theses polynomials and show some important estimates. It is a well known fact that discontinuities can arise in solutions of hyperbolic conservation laws leading to oscillatory numerical solutions. The oscillations generate stability problems in our numerical method. We use modal filters to reduce these oscillations. The modal filter operates directly on the high frequency Fourier coefficients to damp the oscillations. We show also some approximation results for the filtered Fourier series and construct a special modal exponential filter from the differential operator of the respective orthogonal polynomial. We employ the orthogonal polynomials on triangles and their filters in the spectral difference method in order to solve hyperbolic conservation laws. The numerical tests show that the choice of the polynomials and their filter have some positive influence on the stability of the spectral difference method. In a final chapter we motivate the use of discrete orthogonal polynomials in spectral methods. We consider the Hahn polynomials as an example and prove spectral convergence for the coefficients. By using the Hahn polynomials there arise further problems which have relations to Runge's phenomenon. We give an idea to solve these problems.

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Öffner, Philipp: Zweidimensionale klassische und diskrete orthogonale Polynome und ihre Anwendung auf spektrale Methoden zur Lösung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. 2015.

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