The Autoregressive Sieve Bootstrap for Random Fields and Multivariate Stochastic Processes

Meyer, Marco

Thema der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung der Validität des Autoregressive-(AR-)Sieve-Bootstrap-Verfahrens für multivariate und räumliche Prozesse (letztere werden auch als ''Zufallsfelder'' bezeichnet). Im Allgemeinen werden Bootstrap-Methoden dazu eingesetzt, Verteilungen von Schätzern für endliche Stichprobengrößen zu approximieren. Der AR-Sieve-Bootstrap stellt eine populäre Methode dar, da dieser die Abhängigkeitsstruktur innerhalb der Daten durch das Anpassen autoregressiver Modelle endlicher Ordnung imitiert. Obwohl dies auf den ersten Blick eine autoregressive Modellannahme impliziert, reicht die Gültigkeit des Verfahrens weit über die Klasse autoregressiver Prozesse hinaus. Tatsächlich besitzen multivariate und räumliche stationäre Prozesse stets eine inhärente AR-Struktur, sofern ihre Spektraldichten regulär und glatt sind. Wir werden eine Reihe von Resultaten bereitstellen, aus denen sich ableiten lässt, dass die vom AR-Sieve-Bootstrap erzeugten Pseudo-Beobachtungen diese autoregressive Struktur des zugrunde liegenden Prozesses imitieren. Zu einem wesentlichen Teil basiert dieses Vorgehen auf der sogenannten Baxter-Ungleichung, welche sicherstellt, dass die endlichen Vorhersage-Koeffizienten eines Prozesses unter gewissen Voraussetzungen gegen die beschriebenen autoregressiven Koeffizienten konvergieren. Dieses Resultat ist für multivariate Prozesse bereits bekannt, nicht jedoch für Zufallsfelder, daher werden wir eine solche Baxter-Ungleichung in dieser Arbeit herleiten. Wir werden im weiteren Verlauf für eine umfangreiche Klasse an Statistiken ein Kriterium entwickeln, welches es dem Anwender erlaubt, mit relativ einfachen Mitteln zu bestimmen, ob der AR-Sieve-Bootstrap für einen bestimmten Schätzer asymptotisch valide ist oder nicht. Unter den beschriebenen, sehr allgemeinen Voraussetzungen werden wir beweisen, dass der Bootstrap nicht das Verhalten des datengenerierenden Prozesses imitiert, sondern vielmehr das eines modifizierten Prozesses, des sogenannten Companion-Prozesses. Das Entscheidungskriterium wird schließlich folgendermaßen lauten: Das AR-Sieve-Bootstrap-Verfahren ist asymptotisch konsistent für eine bestimmte Statistik genau dann, wenn die Grenzverteilungen der Statistik basierend auf dem zugrundeliegenden Prozess einerseits, und basierend auf dem Companion-Prozess andererseits, übereinstimmen. Dies ist z.B. unter sehr schwachen Voraussetzungen für das arithmetische Mittel der Fall. Für die Stichprobenautokovarianzen hingegen kann mithilfe unserer Methodik erklärt werden, warum das Verfahren im Allgemeinen nicht funktioniert. Darüber hinaus werden wir eine Möglichkeit aufzeigen, wie das Verfahren dazu genutzt werden kann, die Verteilungen nichtparametrischer Trendschätzer zu approximieren.

In this thesis, we will investigate the range of validity of the autoregressive (AR) sieve bootstrap procedure applied to data from multivariate and spatial processes (the latter are also referred to as 'random fields'). Bootstrap methods are used to approximate the distributions of estimators for finite sample sizes. The AR sieve bootstrap is one particularly attractive method because it merely involves fitting of finite-order autoregressive models which is a well-understood problem. However, we will show that validity of the procedure is not restricted to autoregressive processes, but actually goes far beyond this class. Multivariate and spatial stationary processes possess an inherent autoregressive structure, as long as mild regularity and smoothness conditions are fulfilled for the spectral density. We will discuss these conditions and develop a theoretical framework that allows us to show that the bootstrap pseudo observations generated by the AR sieve algorithm asymptotically follow this very same autoregressive structure. This property crucially depends on a result called Baxter's inequality, which ensures sufficiently fast convergence of the finite predictors of a process towards its autoregressive coefficients. A version of this inequality for multivariate processes is already available in the literature whereas the generalisation to the case of spatial processes has not been known so far. We will derive such a Baxter-inequality for random fields in this thesis. We will then derive a criterion which allows us to check for a large class of statistics whether the AR sieve bootstrap works asymptotically. In the very general setting of processes with regular and smooth spectral density, as described previously, we will show that the bootstrap approximation asymptotically does not mimic the behaviour of the underlying process, but the one of a slightly modified process. This so-called companion process has many features in common with the underlying process, including all second order properties. The check criterion can then be stated as follows: The AR sieve bootstrap procedure works asymptotically for a specific test statistic if and only if the limiting distributions of the statistic applied to the underlying process on the one hand, and to the companion process on the other hand, coincide.

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Meyer, Marco: The Autoregressive Sieve Bootstrap for Random Fields and Multivariate Stochastic Processes. 2014.

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