Bootstrap for continuous-time autoregressive moving average processes

Niebuhr, Tobias

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Entwicklung von Bootstrap-Ansätzen für die Klasse der zeitstetigen autoregressiven moving average Prozesse. Der erste Teil konzentriert sich auf klassische Zeitreihen in diskreter Zeit und dabei insbesondere auf lineare Prozesse. Zentrale Grenzwertresultate für integrierte Periodogramme und sogenannte Ratio Statistics werden unter der Annahme von Beobachtungen auf niederen Frequenzen entwickelt. Wesentliche Unterschiede zur Situation mit vollständigen Beobachtungen werden aufgezeigt. Die Ergebnisse korrespondieren zu denen für zeitstetige Parameter, die mithilfe von diskreten Beobachtungen geschätzt werden. Diese Eigenschaft motiviert die weiteren Teile dieser Arbeit. Der zweite Teil stellt Bootstrap-Möglichkeiten für zeitstetige autoregressive Prozesse vor. Beobachtungen solcher Prozesse besitzen eine autoregressive Darstellung, jedoch nur mit unkorrelierten Innovationen. Um die Problematik der Abhängigkeiten innerhalb der Innovationen zu lösen, wird das zugrundeliegende zeitstetige Modell benutzt. Dieses erlaubt eine parametrische Darstellung mit unabhängigen Innovationen, die für Bootstrap-Ansätze günstig ist. Für diese Darstellung ist jedoch ein gewisser Preis zu zahlen. Dennoch kann ein valider Residuen-basierter Bootstrap-Ansatz entwickelt werden. Der dritte Teil behandelt Bootstrap-Ansätze für zeitstetige autoregressive moving average Prozesse. Wie für stetige autoregressive Prozesse erfüllen solche Stichproben eine autoregressive Darstellung mit nur unkorrelierten Innovationen. Aufgrund des moving average-Anteils lassen sich keine Residuen-basierten Ansätze adaptieren. Die zusätzliche Information über die autoregressive Prozessdarstellung motivert einen zweistufigen Bootstrap-Ansatz. Zunächst wird ein autoregressives Modell angepasst. Als zweites wird der allgemeine Block-Bootstrap angewendet, um die verbliebenen Abhängigkeiten zu adressieren. Die Validität des Ansatzes wird bewiesen. Der Ansatz ist maßgeschneidert, aber nicht beschränkt auf die zeitstetigen autoregressiven moving average Prozesse. Genauer ist die Methode genauso allgemein anwendbar wie der Standard-Block-Bootstrap. Der Ansatz erweitert den Moving-Block-Bootstrap sinnvoll und robustifiziert außerdem den Residuen-basierten Bootstrap.

The main focus of this thesis is to develop bootstrap approaches for the class of continuous-time autoregressive moving average processes. The first part focuses on the classical setup for time series in discrete time, especially the class of linear processes is considered in detail. Central limit results for integrated periodograms and ratio statistics are shown to change essentially when the estimates are based on low-frequency observations instead of full-time observations. The results correspond to those for continuous-time parameters based on discrete observations. This motivates the further parts of this thesis. The second part proposes bootstrap possibilities for continuous-time autoregressive processes. Samples of such processes have representations as autoregressions but with uncorrelated innovation sequence only. To circumvent the interdependencies in the innovations, the underlying continuous-time model is used. This allows for a parametric representation with truely independent innovations which is favorable for the bootstrap, however, there is a certain price to pay. Nevertheless, on this basis a valid residual-based bootstrap approach is developed. The third part considers the bootstrap for continuous-time autoregressive moving average processes. As for pure continuous-time autoregressions, the samples fulfill an autoregessive representation with uncorrelated innovations only. Due to the moving average part, residual-based proposals are not adaptable here. However, the block bootstrap is valid, since it works under very mild assumptions. The additional information on the autoregressive part of the process motivates a two-step bootstrap approach. First, an autoregressive model is fitted. In a second step - to address the remaining dependencies - the block bootstrap is applied. This approach is shown to be valid. Its applicability is tailor-made but not limited to continuous-time autoregressive moving averages. Indeed, it is as widely applicable as standard block bootstraps and thus suitably generalizes the moving block bootstrap. The approach further robustifies the residual bootstrap.

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Niebuhr, Tobias: Bootstrap for continuous-time autoregressive moving average processes. 2014.

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