Zur Summierbarkeit von Faber-Reihen

Tietz, Horst

Potenzreihen sind das natürliche Hilfsmittel, um Funktionen darzustellen, die in Kreisen holomorph sind. Die Aufgabe, für ein allgemeines einfach zusammenhängendes Gebiet G eine Polynomfolge zu konstruieren, die für jede in G holomorphe Funktion eine Reihenentwicklung nach diesen Polynomen gestattet, wurde von G. FABER in seiner klassischen Arbeit mit der Einschränkung gelöst, daß der Rand von G eine analytische Kurve ist. Hieran schloß und schließt sich eine lange Kette von Untersuchungen an, die sich mit Erweiterungen und Anwendungen des Faberschen Ergebnisses nach verschiedenen Richtungen befassen, wobei die Fabertheorie vornehmlich auf die Theorie der schlichten Funktionen, beginnend mit der berühmten Arbeit, bis heute eine stimulierende Kraft ausübt. Eines der nächstliegenden Probleme betrifft die Möglichkeit, allgemeinere als analytische Ränder zuzulassen, wobei man dann die Güte der Konvergenz abschwächen muß. In dieser Hinsicht hatte Paul HEUSER festgestellt: im Falle eines konvexen Jordanrandes besitzt eine in G stetige und in G holomorphe Funktion eine Faberreihe und wird durch diese im Sinne abelscher Summierbarkeit dargestellt. Die vorliegende Note soll diese Resultate korrekt und in verständlicher Form herleiten; das ist - wünschenswert, weil selbst ein so taktvoller Rezensent wie G. SZEGÖ schreibt: "Various details of the paper remain unclear to the reviewer" , und - möglich, weil der Kalkül der Laurent-Trennung, den Verf. als angemessene Struktur für die Faber-Theorie nachgewiesen hat, auch diese Arbeiten von P. Heuser durchsichtig zu machen vermag.

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Tietz, Horst: Zur Summierbarkeit von Faber-Reihen.

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