Über die Fortsetzbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich

Zobel, Robert

In der Maßtheorie spielt beim Satz von Lusin die Frage eine Rolle, wann eine auf einer kompakten Teilmenge eines topologischen Raumes definierte, stetige Abbildung stetig auf den ganzen Raum fortsetzbar ist. Diese Frage wurde schon von Stone in seiner grundlegenden Arbeit behandelt. Stone stellt dabei das folgende fest: Eine stetige Abbildung von einer kompakten Teilmenge eines topologischen Raumes X in die reellen Zahlen ist genau dann fortsetzbar, wenn sie nur solche Punkte trennt, die bereits durch eine stetige Abbildung von X in die reellen Zahlen getrennt werden. Er beweist diesen Satz mit der von ihm in der gleichen Arbeit gegebenen Verallgemeinerung des Weierstrass'schen Approximationssatzes. In dieser Arbeit soll nun gefragt werden, welche topologischen Räume generell diese Fortsetzungseigenschaft haben. Es zeigt sich, daß dadurch ein Trennungsaxiom erhalten wird wie bei der entsprechenden Frage nach der Fortsetzbarkeit von abgeschlossenen Mengen. Der Beweis wird ohne den Approximationssatz geführt.

Topological spaces are studied fullfilling the following condition: Every real-valued, continuous function, defined on a compact subset, can be extended to the full space. A space X fulfills this condition if and only if all different points x,y E X such that {x,y} is a discrete subspace of X can be separated by a continuous, real-valued function. This condition is taken as a separation axiom T2b. The relation of T2b with other separation axioms and the condition "T2b and T1" are studied.

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Zobel, Robert: Über die Fortsetzbarkeit stetiger Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich.

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