Statistical Inference for Autoregressive Models - with Random Coefficients and with Functional Realizations

Fink, Thorsten

Im ersten Teil behandeln wir autoregressive (AR) Prozesse mit zufälligen Koeffizienten. Wir schlagen einen kleinste-Quadrate-Schätzer für die vierten Momente beider Störgrößen vor und zeigen, dass er konsistent ist. Das Hauptziel ist die Entwicklung verschiedener Bootstrapideen für die Verteilung des autoregressiven Parameters und der Varianzen der beiden Störgrößen. Wir zeigen, wie man approximative Residuen des Prozesses erhält, obwohl die Standardmethode für AR Prozesse hier nicht funktioniert, da man dann nur Residuen erhalten würde, die aus der Summe beider Störgrößen bestehen. Dies führt zu einer Modifikation des klassischen Residuenbootstrap. Die Konsistenz eines Bootstrapverfahrens für den AR Parameter, das auf einem kleinste-Quadrate-Schätzer basiert, wird ebenso gezeigt, wie die eines Verfahrens, das auf einem Quasi-Maximum-Likelihood-Schätzer basiert. Außerdem werden Wild-Bootstrapvarianten der Verfahren hergeleitet. Weiterhin wird das Verhalten der Bootstrapverfahren anhand einer Simulationsstudie untersucht und untereinander verglichen. Schließlich entwickeln wir zwei einfache Schätzer für die Dichten der Störgrößen und einen, der auf Dekonvolutionstechniken beruht. Im zweiten Teil betrachten wir funktionale Zeitreihen, die einem autoregressiven Schema unbekannter Ordnung entstammen und zeigen, wie diese Ordnung konsistent geschätzt werden kann. Dazu stellen wir die Verbindung zwischen funktionalen AR Prozessen und multivariaten AR Prozessen her und zeigen, wie man aus einem funktionalen AR Prozess einen multivariaten Prozess erhalten kann. Wir führen eine Verlustfunktion ein und zeigen, dass die durch eine Minimierung dieser Funktion geschätzte Ordnung in Wahrscheinlichkeit gegen die richtige Ordnung des multivariaten und des funktionalen Prozesses konvergiert. Wir untersuchen das Verhalten der Methode für endliche Stichprobenumfänge in einer Simulationsstudie und vergleichen sie mit einer existierenden Methode und wenden sie auf reale Datensätze an.

In the first part we examine autoregressive (AR) processes with random coefficients. We propose a least-squares estimator for the fourth order moments of both the noise sequences and state its consistency. The main theme is the development of various bootstrap procedures for the distribution of the autoregressive parameter and the distribution of the variances of both noise sequences. We show how to obtain approximative residuals for the process even though the standard method for autoregressive processes does not work in this context since one then would obtain convoluted residuals of both the noise squences. These ideas lead to a modification of the classical residual bootstrap for autoregressive processes. The consistency of a bootstrap procedure for the autoregressive parameter based on an intuitive least-squares estimator as well as of a procedure based on a quasi maximum likelihood estimator, is established. Further, wild bootstrap modifications are proposed and the performances of the bootstrap procedures are explored by a simulation study and compared to each other. Finally, we propose two basic estimators and an advanced estimator that is based on deconvolution techniques for the densities of the noise sequences. In the second part we consider functional time series that are assumed to follow an autoregressive scheme of unknown order and show how to estimate this order consistently. We establish the connection between functional AR processes and multivariate AR processes and show how to obtain a multivariate process if we are given a functional AR process. We introduce a general loss function and show that the estimated order obtained by a minimization of this function converges to the correct order of the multivariate non-standard AR process and therefore of the functional AR process in probability. We evaluate the finite sample size performance by a simulation study and compare it with an existing method. Finally, we apply the method to real data sets.

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Fink, Thorsten: Statistical Inference for Autoregressive Models - with Random Coefficients and with Functional Realizations. 2013.

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