Der Spindrehimpuls in der allgemeinen Relativitätstheorie

Hehl, Friedrich

In seiner allgemeinen Relativitätstheorie hat Einstein den Energie-Impuls der Materie geometrisiert. Spinnende Materie besitzt aber neben den Translations- zusätzlich noch Rotationsfreiheitsgrade, die im Spindrehimpuls ihren Ausdruck finden; für dessen Beschreibung ist jedoch in der allgemeinen Relativitätstheorie keine geometrische Größe verfügbar. In diesem Artikel wird daher im Anschluß an Arbeiten von Sciama, Kibble, Kröner und dem Verfasser die dem Spindrehimpuls zugeordnete Raumgröße aufgesucht und eine allgemein-relativistische Feldtheorie für Energie-Impuls und Spindrehimpuls angegeben. Im ersten Kapitel erläutern wir zuerst die unserer Arbeit zugrunde liegende Konzeption (§1). Wesentlich ist dabei, daß materieller Spindrehimpuls dem antisymmetrischen Teil der affinen Konnexion, der sog. Cartanschen Torsion äquivalent ist. §2 gibt eine Literaturübersicht, und in §3 führen wir etwas näher eine zwischen der Feldtheorie der Versetzungen und der allgemeinen Relativitätstheorie bestehende Analogie aus, die den Ausgangspunkt unserer Überlegungen bildete. In §4 werden eine Reihe mathematischer Formeln aufgestellt, die wir später benötigen werden. Das zweite Kapitel dient der eigentlichen Ausarbeitung der Theorie. In §5 wird als physikalischer Erfahrungsraum der allgemeinste metrische und affine Raum eingeführt. Gegenüber dem Riemannschen Raume der allgemeinen Relativitätstheorie besitzt er als zusätzliche Struktur die Cartansche Torsion. Betten wir die Wirkungsfunktion der Materie in diesen Raum ein (§6), so folgen aus ihrer Invarianz gegenüber beliebigen Koordinatentransformationen gewisse Identitäten. Wir definieren in §7 den Energie-Impuls und den Spindrehimpuls der Materie dynamisch und können dann in §8 die erwähnten Identitäten auswerten: die dynamisch definierten Energie-Impuls- bzw. Spindrehimpuls-Tensoren sind mit den entsprechenden kanonischen Tensoren, die aus dem Lagrange-Formalismus folgen, identisch. Zudem erhalten wir die explizite Form der Erhaltungssätze für Energie-Impuls und Drehimpuls. Diese Ergebnisse gelten bei beliebiger Form der Feldgleichungen der Gravitation. Letztere stellen wir erst in §9 mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzipes auf. Die Wahl einer bestimmten Wirkungsfunktion des Feldes führt zu den Feldgleichungen Einstein-Tensor = kanon. Energie-Impuls, (modifizierte) Cartansche Torsion = kanon. Spindrehimpuls. In §10 diskutieren wir die dargelegte Theorie und schneiden einige noch offene Probleme an.

Einstein geometrized in his general theory of relativity energy-momentum of matter. Spinning matter is characterized besides the translational also through rotational degrees of freedom, and this fact manifests itself in spin-angular momentum. In general relativity, however, there is no geometrical counterpart of spin-angular momentum. Therefore, following the work of Sciama, Kibble, Kröner and the author, we here look for the geometric quantity corresponding to spin-angular momentum and propose a general relativistic field theory for energy-momentum and spin-angular momentum. In chapter one we first explain the concept underlying our work (§1). The essential point is the equivalence of spin-angular momentum of matter and the antisymmetric part of the affine connexion, the so-called Cartan's torsion. In §2 we survey the literature, and in §3 we discuss in some detail the analogy between field theory of dislocations and general relativity which was our starting point. In §4 we list for later convenience some mathematical formulas. We build up the proper theory in the second chapter. In §5 we introduce as physical space the most general metric and affine space. Compared with Riemannian space of general relativity it has Cartan's torsion as an additive structure. If we imbed the action function of matter in this space, as is done in §6, there follow certain identities from the invariance of the action function against general coordinate transformations. Energy-momentum and spin-angular momentum of matter are defined dynamically in §7. In §8 we are then able to utilize the above mentioned identities: the dynamically defined energy-momentum and spin-angular momentum tensors are respectively identical with the corresponding canonical tensors following from Lagrangian formalism. Further we obtain explicitly the conservation theorems for energy-momentum and angular momentum. These results are valid irrespective of the form of the field equations of gravitation, which we deduce only in §9 with the help of Hamilton's principle. Choosing a certain action function of the field, we are lead to the field equations Einstein's tensor = canonical energy-momentum, (modified) Cartan's torsion = canonical spin-angular momentum. In §10 we discuss the proposed theory and raise some open problems.

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Hehl, Friedrich: Der Spindrehimpuls in der allgemeinen Relativitätstheorie.

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