Iterationsverfahren und Operatorgleichungen in der Elastizitätstheorie

Rieder, Georg

In dieser Arbeit werden zwei Prinzipien zur Aufstellung von Iterationsverfahren zur Lösung elastostatischer Probleme aufgestellt. Beide Prinzipien beruhen auf dem Ersatz des vorgelegten Problems in einem vorgegebenen Realkörper durch ein abgeändertes Problem in einem mathematisch einfacher zu behandelnden Grundkörper. Und zwar wird beim Prinzip der sukzessiven Belastung der Unterschied zwischen Realkörper und Grundkörper durch zusätzliche Kräfte, beim Prinzip der sukzessiven Verspannung durch zusätzliche Eigenspannungsquellen ausgeglichen. In beiden Fällen können die zusätzlichen Kräftebelebungen bzw. Eigenspannungsquellen iterativ angenähert werden; dadurch wird die Lösung des vorgelegten Problems im Realkörper auf eine Folge von Problemen in dem einfacheren Grundkörper zurückgeführt. Bei der Anwendung auf Randwertprobleme unterscheiden sich Realkörper und Grundkörper durch ihre Begrenzungen, bei der Anwendung auf Nichthomogenitätsprobleme durch ihre elastischen Eigenschaften. In §1 erläutern wir beide Prinzipien zunächst an ebenen Randwertproblemen. Da die praktische Anwendbarkeit von den Eigenschaften der nach diesen Prinzipien konstruierten Operatoren abhängt, wird in §2 eine elementare Einführung in die Theorie der reellen Hilbertschen Räume gegeben, und es werden die in diesem Zusammenhang wichtigsten Sätze über symmetrische Operatoren angegeben. In §3 werden - unter gleichzeitiger Anwendung auf Nichthomogenitätsprobleme - die Ergebnisse von §2 auf den Hilbert-Raum der elastischen Zustände übertragen, ohne zunächst auf Einzelheiten der numerischen oder halbnumerischen Durchführung einzugehen. Dies geschieht in §4 am Beispiel eines nach dem Prinzip der sukzessiven Belastung aufgestellten Iterationsverfahrens zur Lösung des Randwertproblems der belasteten Scheibe, welches bis zu den wichtigsten Einzelheiten der numerischen Durchführung diskutiert wird. In §5 schließlich werden Methoden zur Beschleunigung der Konvergenz besprochen und das Verfahren von §4 mit anderen numerischen oder halbnumerischen Verfahren verglichen. Ein praktisch wichtiges Ergebnis folgt aus dem Vergleich des Verfahrens von §4, einer Integralgleichungsmethode mit dem Rand als Integrationsgebiet, mit anderen Verfahren, welche mit diskreten Gitterpunkten im Inneren des ebenen Körpers arbeiten. Es ist bekannt, daß im zweiten Falle die finiten Gleichungssysteme mit wachsender Zahl der Gitterpunkte immer schlechter bestimmt werden. D.h., das Verhältnis des größten zum kleinsten Eigenwert der finiten Ersatzmatrix wird immer größer, was sich in steigender Anfälligkeit gegen Rundungsfehler äußert. Bei dem Verfahren von §4 dagegen strebt das Spektrum der finiten Ersatzmatrix bei feinerer Unterteilung des Integrationsgebiets gegen das Spektrum eines beschränkten symmetrischen Operators, dessen größter Eigenwert in praktisch sinnvollen Fällen ein relativ kleines Vielfaches des kleinsten Eigenwertes ist. Da sich die Integralgleichungsmethode bequem den verschiedensten Bereichsformen anpassen läßt, erscheint die Methode von §4 als ein sehr genaues und vielseitig anwendbares Verfahren.

Two principles for setting up iteration procedures for solving problems in linear elastostatics will be established in this paper. Both principles rest upon replacing the problem posed in a given real body by a changed problem in a basic body that can be treated more simply mathematically. The difference between the real body and the basic body is being compensated for by additional forces after the principle of successive loading, and by additional sources of internal stress after the principle of successive distortion. In both cases the additional distributions of forces resp. sources of internal stress may be approximated by iteration; thereby the solution of the problem posed in the real body is being reduced to a sequence of problems in the simpler basic body. On application to boundary value problems, real body and basic body will differ by their boundaries, on application to non-homogeneity problems, they will differ by their elastic properties. In §1, we will explain both principles beforehand on plane boundary value problems. As the practical applicability depends on the properties of the operators constructed after those principles, there will be given in §2 an elementary introduction into the theory of the real Hilbert space, and the theorems most important in this connection about symmetric operators will be stated. In §3 these results will be transferred - under simultaneous application to non-homogeneity problems - to the Hilbert space of elastic states, without referring to details of numerical or half-numerical performance. This will be done in §4 for the example of an iteration procedure established after the principle of successive loading for the boundary value problem of the plate loaded in its plane, where the discussion includes the most important features of numerical calculation. In §5, finally, methods for improving convergence will be discussed, and the method of §4 will be compared with other numerical and half-numerical procedures. A practically important result follows from comparison of the procedure of §4, an integral equation method with the boundary as integration domain, with other procedures that work with discrete mesh points in the interior of the plane body. It is well known that in the latter case the condition of the finite systems of linear equations becomes worse with growing number of mesh points. That is, the ratio of the greatest to the smallest eigenvalue of the finite matrix replacing the operator becomes bigger and bigger, which results in a growing sensitivity against round-off errors. For the procedure of §4, on the other hand, the spectrum of the finite matrix tends with finer sub-division of the integration domain against the spectrum of a bounded symmetric operator, whose greatest eigenvalue is a comparatively small multiple of the smallest one in practical cases. As the method of integral equations may be adapted easily to a great variety of domains, the procedure of §4 appears to be rather accurate and many-sided in applications.

Zitieren

Zitierform:

Rieder, Georg: Iterationsverfahren und Operatorgleichungen in der Elastizitätstheorie.

Zugriffsstatistik

Gesamt:
Volltextzugriffe:
Metadatenansicht:
12 Monate:
Volltextzugriffe:
Metadatenansicht:

Details anzeigen

Rechte

Nutzung und Vervielfältigung:
Alle Rechte vorbehalten

Export