Topologische Fragen in der Theorie der Spannungsfuktionen

Rieder, Georg

Zur Lösung elastischer Randwertprobleme kann man sich der Verschiebungsfunktionen oder der Spannungsfunktionen bedienen. Im ersten Fall wird durch Ableitung des Dehnungsfeldes aus einer Verschiebung die Erfüllung der Kompatibilitätsbedingung von vornherein gesichert und die Verschiebungsfunktion nachträglich der Gleichgewichtsbedingung angepaßt; im zweiten Fall gewährleistet die Ableitung des Spannungsfeldes aus Spannungsfunktionen von vornherein die Erfüllung der Gleichgewichtsbedingung, während die Kompatibilitätsbedingung durch nachträgliche Anpassung befriedigt werden muß. Die topologischen Eigenschaften der Verschiebungsfunktionen sind nach geometrischen Gesichtspunkten schon mehrfach gründlich untersucht worden, besonders im Zusammenhang mit der Theorie der Versetzungen; die vorliegende Arbeit enthält eine entsprechende Untersuchung nach statischen Gesichtspunkten für die Spannungsfunktionen. Es ergibt sich, daß für die Darstellbarkeit des elastischen Feldes durch Spannungsfunktionen in einem von äußeren Kräften und Eigenspannungsquellen freien (kurz: "störungsfreien") räumlichen Bereich die Zahl der begrenzenden Oherflächen dieselbe Rolle spielt wie bei der Darstellung durch Verschiebungsfunktionen die Zusammenhangszahl. Insbesondere ist eme Darstellung durch Spannungsfunktionen beim mehrfach begrenzten Bereich unmöglich, wenn die äußeren Kräfte nicht an jeder Oberfläche für sich im Gleichgewicht sind, also z.B. auch für die als Grenzfall eines Kräftesystems am unendlich kleinen Hohlraum aufzufassende isolierte Einzelkraft. Die für diesen Fall in der Ebene und im Raum angegebenen Spannungsfunktionen erweisen sich als Spannungsfunktionen eines Eigenspannungszustandes, dessen singuläre Eigenspannungsquellen bei der Ableitung des Spannungsfeldes ausgespart werden; die bewußte Einführung solcher "fiktiver Extraspannungen" ermöglicht die Konstruktion weiterer derartiger Lösungen. Bei mehrfach zusammenhängenden Bereichen wird eine vom ebenen Ringgebiet bekannte Beziehung zwischen den Randbedingungen für die Nullspannungsfunktionen und den Bedingungen für das Verschwinden eines Volterraschen Distorsionszustandes ins Räumliche erweitert. Als Beispiele werden Spannungsfunktionen für die Einzelkraft und eine Doppelkraft mit Moment im "angebohrten" Vollraum aufgestellt und die Schaeferschen Spannungsfunktionen für die Probleme von Boussinesq und Cerutti am Halbraum auf anderem Wege abgeleitet.

To solve elastic boudary value problems, displacement functions or stress functions may be used. In the first case the fulfilment of the compatibility condition is secured beforehand by deriving the strain field from a displacement, and the displacement function is adapted afterwards to the equilibrium condition; in the second case the derivation of the stress field from stress functions guarantees beforehand the fulfilment of the equilibrium condition, whilst the compatibility condition is to be satisfied by subsequent adaptation. The topological properties of displacement functions have been repeatedly studies from a geometric viewpoint, especially in connection with dislocation theory; the paper presented contains a corresponding study for stress functions from a static viewpoint. It is shown, that for the representability of the elastic field by stress functions in a space domain devoid of external forces and sources of internal stress (shortly: "unpertubed domain") the number of bordering surfaces plays the same role as does the connectivity for the representation by displacement functions. Especially a representation by stres functions is impossible in a multiply bordered domain, if the external forces are not in equilibrium on a single surface; this applies, for example, also for the isolated single force, which is to be regarded as the limiting case of an assembly of forces on an infinitely small hole. The stress functions given for this case in the plane and in space prove to be the stress functions of a state of internal stress, the singular stress sources of which are being omitted in deriving the stress field; intentional introduction of such "fictive extra stresses" renders possible the construction of more solutions of this kind. For multiply connected domains a relation known from the plane annular domain between the boundary conditions for zero stress functions and the conditions for vanishing Volterra states of distortion is extended into space. As examples stress functions are set up for the single force and a double force with a moment in the "pierced" full space, and Schaefer's stress functions for the problems of Boussinesq and Cerutti on the half space are derived by a different method.

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Rieder, Georg: Topologische Fragen in der Theorie der Spannungsfuktionen.

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