Die Punkt-/Satzerfolgswahrscheinlichkeit im Volleyball – Mathematische Modellbildung und datenbasierte analytische/numerische Simulationen

Meyer, Bernd

Ein Markov-Ketten-Modell zur Analyse von leistungsrelevanten Verhaltensweisen im Sportspiel Volleyball mittels sogenannten Leistungsrelevanzen wird entwickelt. Neben der statistischen Methode der Diskriminanzanalyse ist dieser stochastische Ansatz ein wirksames Werkzeug zum Vergleich von Leistungen in Punktelementen hinsichtlich des Spielerfolges. Das vorgeschlagene Modell ist voll kompatibel mit standardisierten computergestützten Wettkampfanalysesystemen und ermöglicht es, formelmäßige Ergebnisse für das Punktelement Aufschlag anzugeben, ohne etwaige Fehler, wie sie bekannt sind von Anwendungen der Matrix-Algebra Methode. Daneben eignet sich u.a. das Punktelement Aufschlag zur Modellvalidierung unter Berücksichtigung von Ergebnissen aus vorangegangenen Untersuchungen zur Gewichtung von Punkten (t=31.23, df=256, p<0.001, r=0.89). Im zweiten Teil des Beitrages wird das Modell erweitert zur Berechnung der Satzerfolgswahrscheinlichkeit (SEW), basierend auf der Annahme, dass Punkte in hochklassigen Wettbewerben interpretiert werden können als unabhängig und identisch verteilte (u.i.v.) Zufallsvariablen. Diese Annahme lässt sich verifizieren durch einen Vergleich der theoretischen und empirischen Verteilung von Punkten am Satzende (verlorene 25-Punkte Sätze der verlierenden Mannschaft) (Kolmogorov-Smirnov-Z=1.07, p=0.20 (n=300)). Nach einer umfassenden Charakterisierung von quantitativen Eigenschaften der zur Berechnung der SEW angewandten Monte-Carlo Methode wird sowohl die SEW in funktioneller Abhängigkeit von leistungsrelevanten Parametern als auch der Einfluss von verschiedenen Parametern auf die SEW untersucht. Dabei sind berücksichtigt die Punkterfolgswahrscheinlichkeit bei eigenem Aufschlag (Scoring-Rate im Komplex II), die Leistung in Punktelementen, die Auswirkung von FIVB-Regel 7.1.2.1 (ersten Aufschlag ausführen/annehmen) und einige Effekte nicht-u.i.v. Punkte (Hot-Hand-Effekt, Back-to-the-Wall-Effekt). Zur Ergänzung der Analyse von leistungsrelevanten Verhaltensweisen unter Einbeziehung von Leistungsschwankungen als ein sequenzieller Aspekt wird ein Verfahren zur Modellierung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Größe SEW entwickelt. Dieses beruht auf einer Kenntnis der SEW in funktioneller Abhängigkeit von der Leistung in einem jeweiligen Punktelement und einer Verwendung von Pseudozufallszahlen mit trunkierter Normalverteilung. Für spezielle Werte der Leistung in Punktelementen wird gezeigt, dass man von Leistungsschwankungen offensichtlich profitieren kann, insbesondere von jenen im Punktelement Aufschlag. Ergebnisse aus ergänzenden Untersuchungen geben eine visuelle Analyse von Daten aus numerischen Berechnungen zur Wichtigkeit eines Punktes, der Wahrscheinlichkeit eines Punktestandes und der häufigkeitsgewichteten Wichtigkeit eines Punktes. Die Daten sind in Heatmaps am Beispiel des 15-Punkte Satzes für 15x15 Punktestände dargestellt. Zudem werden Punktestände jenseits eines 14:14 Gleichstandes berücksichtigt, um eine Systematik für typische sich wiederholende Sequenzen, jeweils bestehend aus den aufeinanderfolgenden Zuständen Einstand und jeweiliges Vorteil, wie bekannt aus Rückschlagsportarten, zu übernehmen.

A Markov-chain model is developed to analyze performance relevant behavior in the game of volleyball by means of so-called performance relevances. Beside the statistical method of discriminant analysis, this stochastic approach is a powerful tool for comparison of performance in scoring elements with regard to the success of play. The proposed model is fully compatible with standardized computer based competition analysis systems and enables to give results for the scoring element service in closed form expressions without any errors known from applications of the matrix algebra method. In addition, the scoring element service, among others, is suitable for model validation considering results of previous investigations to the weighting of points (t=31.23, df=256, p<0.001, r=0.89). In the second part of this correspondence, the model is extended to calculate the probability of winning a set (SEW) based on the assumption that points in top-level competitions can be interpreted as independent and identically distributed (i.i.d.) random variables. This assumption may be verified by a comparison of the theoretical and empirical distribution of points at the end of a set (lost 25-point sets of the losing team) (Kolmogorov-Smirnov-Z=1.07, p=0.20 (n=300)). Following a comprehensive characterization of quantitative properties of the applied Monte-Carlo technique used for computation of the SEW, both the SEW in functional dependence of performance relevant parameters and the influence of various parameters on the SEW are investigated. Parameters taken into consideration are: the probability of winning a point on service (scoring rate in complex II), the performance in scoring elements, the outcome of FIVB rule 7.1.2.1 (perform/receive first service), and some non-i.i.d. effects (hot-hand effect, back-to-the-wall effect). To complete the analysis of performance relevant behavior including performance fluctuations as a sequential aspect, a procedure is developed to model the probability density function of the quantity SEW. The model is based on a knowledge of the SEW in functional dependence of the performance in a respective scoring element, and an application of random numbers with truncated normal distribution. For special values of the performance in scoring elements, it is shown that one can evidently profit from performance fluctuations, especially from those in the scoring element service. Findings of supplementary investigations give a visual analysis of data from numerical calculations to the importance of a point, the probability of a score, and the time-importance of a point. For the example of the 15-point set, the data are depicted in heatmaps containing 15x15 scores. In addition, scores beyond a 14:14 tie are taken into consideration to adopt systematics for repetitive sequences, each consisting of typically consecutive states, deuce and a respective advantage, as known from racquet sports.

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Meyer, Bernd: Die Punkt-/Satzerfolgswahrscheinlichkeit im Volleyball – Mathematische Modellbildung und datenbasierte analytische/numerische Simulationen. Braunschweig 2012.

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