Ein Spektrale-Differenzen-Verfahren mit modaler Filterung und zweidimensionaler Kantendetektierung mithilfe konjugierter Fourierreihen

Wirz, Martina

In dieser Arbeit wird die Spektrale-Differenzen-Methode auf allgemeine Basispolynome, insbesondere Proriol-Koornwinder-Dubiner-Polynome, mit angepasster modaler Filterung erweitert, sowie ein Kantendetektierungsverfahren basierend auf konjugierten Fourierreihen in zwei Raumdimensionen weiterentwickelt und seine Nutzbarkeit im Rahmen lokaler Verfahren zur Lösung hyperbolischer Erhaltungsgleichungen geprüft. Dazu wird eine aus den spektralen Verfahren bekannte modale Filterung der Reihenentwicklung, die für genannte Polynome bereits in Diskontinuierliche-Galerkin-Verfahren genutzt wurde, auch auf die Spektrale-Differenzen-Methode übertragen und die Effizienz dieser Filterung in numerischen Versuchen getestet. Um den Ordnungverlust möglichst gering zu halten, muss dabei eine möglichst genaue Lokalisierung der Unstetigkeitsstellen vorgenommen werden. Dafür wird ein ebenfalls aus den spektralen Verfahren stammender Ansatz basierend auf konjugierten Fourierreihen begutachtet, der die Eigenschaft ausnutzt, dass die Partialsummen der konjugierten Fourierreihen gegen die Sprunghöhe der zugrunde liegenden Funktion an Unstetigkeitsstellen konvergieren. Bereits bekannte Konvergenzresultate in einer Raumdimension für mit allgemeinen Kernen verallgemeinerte konjugierte Partialsummen werden hier auch für verallgemeinerte konjugierte Partialsummen in zwei Variablen erweitert. Die theoretischen Resultate werden in diversen Testfällen verifiziert. Ferner wird eine direkte Berechnungsmöglichkeit der Fourierkoeffizienten aus den vorliegenden modalen Proriol-Koornwinder-Dubiner-Koeffizienten hergeleitet, die eine Nutzung im Spektrale-Differenzen-Verfahren ohne zusätzlichen Rekonstruktionsfehler ermöglicht. Dies wird ebenfalls in numerischen Untersuchungen belegt.

This work expands the Spectral Difference Method to arbitrary basis polynomials, especially Proriol-Koornwinder-Dubiner-polynomials, with a modal filtering based on this basis. Furthermore, an edge detection procedure based on conjugated Fourier partial sums is extended to two space dimensions and its application in local numerical methods for solving hyperbolic conservation laws is investigated. To this end, modal filtering approaches for the mentioned polynomials, which are already used in Discontinuous Galerkin Methods, are applied to the Spectral Difference Method. Numerical tests are carried out to show the capability of this approach. To avoid a loss of accuracy at smooth parts the edge detection should be as accurate as possible. Therefore, the fact that the conjugated Fourier partial sums converge to the jump height of the underlying function is used which has already been applied in spectral methods. Convergence theorems in one space dimension with generalized kernels are extended to two dimensions and several test cases investigated. Furthermore, an exact formula to compute Fourier coefficients from modal Proriol-Koornwinder-Dubiner-coefficients is presented, which avoids additional reconstruction errors. Numerical tests are carried out to validate its efficiency.

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Wirz, Martina: Ein Spektrale-Differenzen-Verfahren mit modaler Filterung und zweidimensionaler Kantendetektierung mithilfe konjugierter Fourierreihen. 2012.

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