# Frequency Dependence of Primary Capacitance Standard in Audio Frequency Range

Homklintian, Monthol

The Thompson–Lampard theorem is a theorem of electrostatics which describes a so-called cross capacitance independent of its cross sectional dimensions. It is therefore best suited to be used as a capacitance standard for the absolute determination of the unit of capacitance, the farad. As this cross capacitance is defined for DC but must be operated at AC, a frequency correction must be applied the uncertainty of which is one of the largest contributions to the uncertainty budget. The frequency correction can be calculated with a sufficient accuracy using an equivalent circuit model which describes the behaviour of the calculable cross capacitor at AC. Calculable cross capacitors are mostly operated at a frequency of 1592 Hz ( = 104 rad/s) which is convenient for the link between the farad and the ohm. The determination of the frequency behavior of the PTB calculable cross capacitor in the audio frequency range is carried out by applying an equivalent circuit model which considers the influence of distributed admittances and impedances within the calculable cross capacitor. It has been derived taking into account the main currents flowing inside the calculable cross capacitor and the voltage drops caused by these currents. Most of the circuit parameters of the model were directly measured in the actual configuration of the electrode system with a commercial auto-balancing bridge in a frequency range between 1 kHz and 10 kHz. Owing to the uncertainty of the bridge which is 0.1 % for capacitance measurements and 2 % for inductance measurements, the calculated uncertainty of the frequency correction amounts to a few parts in 108. The capacitances on the calculable cross capacitor were found to be frequency independent, but self-inductances and mutual inductances of the electrodes are frequency dependent and linearly proportional to the inverse square root of the frequency in the examined frequency range. The frequency dependence of the calculable cross capacitor has been calculated based on the measured circuit parameters. It has been found that the frequency dependence of the cross capacitance is proportional to the square of the frequency, and that the influence of mutual inductances of opposite electrodes dominate the behavior at higher frequencies. At a frequency of 1592 Hz, the correction of the PTB calculable cross capacitor with a value of 1 pF amounts to 9.2×10-8 pF with an expanded uncertainty (k=2) of 3.1×10-8 pF.

Das Thompson-Lampard Theorem ist ein Theorem der Elektrostatik, das eine sogenannte Kreuzkapazität beschreibt, die unabhängig von den Querschnittsabmessungen ist. Sie ist daher bestens als Kapazitätsnormal für die Darstellung der Kapazitätseinheit Farad geeignet. Da die Kreuzkapazität für den statischen Fall definiert ist, jedoch bei Wechselstrom betrieben wird, muss eine Frequenzkorrektur angebracht werden, deren Unsicherheit einen wesentlichen Beitrag zum Unsicherheitsbudget des Kondensators leistet. Die Frequenzkorrektur kann mit ausreichender Genauigkeit unter Verwendung eines Wechselstrom-Ersatzschaltbildes für den Kreuzkondensator berechnet werden. Kreuzkondensatoren werden im Allgemeinen bei einer Frequenz von 1592 Hz, entsprechend einer Kreisfrequenz von 10 rad/s, betrieben, die für die Ableitung der Widerstandseinheit Ohm aus der Kapazitätseinheit Farad am geeignetsten ist. Das Frequenzverhalten des PTB Kreuzkondensators im Tonfrequenzbereich wurde unter Anwendung eines Ersatzschaltbildes bestimmt, das den Einfluss der verteilten Impedanzen und Admittanzen im Kondensator berücksichtigt. Es wurde unter Beachtung der wesentlichen Ströme im Kondensator sowie ihrer Spannungsabfälle an den Impedanzen abgeleitet. Die Mehrzahl der Ersatzschaltbild-Parameter wurde direkt in der originalen Konfiguration des Elektrodensystems mit einer kommerziellen selbst abgleichenden Messbrücke in einem Frequenzbereich von 1 kHz bis 10 kHz bestimmt. Mit der Messunsicherheit der Messbrücke, die 0,1 % für Kapazitätsmessungen und 2% für Induktivitätsmessungen beträgt, ergibt sich für die Frequenzkorrektur eine Unsicherheit von einigen 10-8. Die Kapazitäten des Kreuzkondensators sind im untersuchten Bereich frequenzunabhängig, während die Selbst- und Gegeninduktivitäten sich linear mit der inversen Quadratwurzel der Frequenz ändern. Die Frequenzabhängigkeit des Kreuzkondensators wurde auf der Grundlage der gemessenen Ersatzschaltbild-Parameter berechnet. Sie ist proportional zum Quadrat der Frequenz. Den stärksten Einfluss auf das Frequenzverhalten bei höheren Frequenzen haben die Gegeninduktivitäten gegenüberliegender Elektroden. Bei einer Frequenz von 1592 Hz beträgt die Frequenzkorrektur des PTB Kreuzkondensators bei einer Kapazität von 1 pF 9.2×10-8 pF mit einer erweiterten Unsicherheit (k=2) von 3.1×10-8 pF.

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