Strictly Stationary Solutions of Multivariate ARMA and Univariate ARIMA Equations

Vollenbröker, Bernd Karl

The main focus of this thesis is to give a characterization of the existence of strictly stationary solutions of multivariate ARMA and univariate ARIMA equations. Initially, multivariate ARMA(p,q) equations are considered with independent and identically distributed noise sequence. No a priori moment assumptions on this noise sequence are made. Necessary and sufficient conditions for the existence of a strictly stationary solution to an ARMA(1,q) equation are given in terms of the Jordan canonical decomposition of the AR-matrix and properties of the noise sequence and the MA-coefficients $\Theta_k$. An explicit solution, assuming its existence, is also derived and the question of uniqueness of this solution is solved. Then, applying this, equivalent conditions for the existence of a strictly stationary solution to an ARMA(p,q) equation are given in terms of finite log-moments of certain linear combinations of the components of the noise sequence and the characteristic polynomials. Again, an explicit solution, assuming its existence, is derived and the question of uniqueness of this solution is solved. Afterwards, univariate ARIMA(p,D,q) equations are considered, which are interpreted as ARMA equations with fractional noise. It is characterized for which independent and identically distributed noise sequences $(Z_t)_{t\in\bZ}$ the series defining the fractional noise $\nabla^{-D}Z_t$ converges almost surely and necessary and sufficient conditions are given for the existence of a strictly stationary solution to the above ARIMA equation to exist, an explicit solution is derived, given its existence, and the question of uniqueness of the solution is solved.

Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf einer Charakterisierung der Existenz von strikt stationären Lösungen multivariater ARMA- und univariater ARIMA-Gleichungen. Zunächst werden multivariate ARMA(p,q)-Gleichungen betrachtet mit unabhängig und identisch verteilter Noise-Folge, an die a priori keine Momentenbedingung gestellt wird. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen gegeben für die Existenz strikt stationärer Lösungen einer ARMA(1,q)-Gleichung vermittels der Jordanschen Normalform der AR-Matrix und Eigenschaften der Noise-Folge und der MA-Koeffizienten $\Theta_k$. Im Falle der Existenz wird eine explizite Lösung hergeleitet und die Frage der Eindeutigkeit dieser Lösung beantwortet. Darauf aufbauend werden äquivalente Bedingungen angegeben für die Existenz strikt stationärer Lösungen einer ARMA(p,q)-Gleichung vermittels endlicher Log-Momente bestimmter Linearkombinationen der Komponenten der Noise-Folge und vermittels der charakteristischen Polynome. Im Falle der Existenz wird hier ebenfalls eine explizite Lösung hergeleitet und die Frage der Eindeutigkeit dieser Lösung beantwortet. Anschließend werden univariate ARIMA(p,D,q)-Gleichungen betrachtet, die aufgefasst werden als univariate ARMA(p,q)-Gleichungen mit fraktionalem Noise. Es wird charakterisiert, für welche unabhängig und identisch verteilten Folgen $(Z_t)_{t\in\bZ}$ die den fraktionalen Noise definierende Reihe $\nabla^{-D}Z_t$ fast sicher konvergiert und notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben für die Existenz strikt stationärer Lösungen der obigen ARIMA-Gleichung, im Falle der Existenz eine explizite Lösung hergeleitet und die Frage der Eindeutigkeit dieser Lösung beantwortet.

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Vollenbröker, Bernd Karl: Strictly Stationary Solutions of Multivariate ARMA and Univariate ARIMA Equations. 2011.

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