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Low Rank Approximation in Spectral Stochastic Finite Element method with Solution Space Adaption

Krosche, Martin; Niekamp, Rainer

Die Spektrale Stochastische Finite Elemente Methode (SSFEM) ist eine der bedeutendsten Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen mit stochastischen Parametern. In ihrer klassischen Form unterliegt sie dem Fluch der Dimension. Viele verschiedene Techniken wurden jüngst entwickelt, um dagegen zu steuern und so die Anwendbarkeit der SSFEM auch für hochdimensionale Probleme zu gewährleisten. Diese Techniken umfassen Niedrig-Rang Repräsentationen und eine Reduktion des Lösungsraumes. Wir präsentieren ein Verfahren mit einem schrittweisen Rang-1-Update basierend auf der Varitationsformulierung des Problems. Die resultierende Niedrig-Rang Repräsentation ist hinsichtlich der Energieminimierung zu gegebenem Rang nicht notwendigerweise optimal. Dieses Verfahren wird erweitert um eine optionale Anpassung des Lösungsraumes und der Möglichkeit eine optimale Niedrig-Rang Approximation durchzuführen.

The Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM) has become one of the most interesting methods in solving partial differential equations with stochastic parameters. In its classical form it underlies the Curse of Dimension. Many different techniques have been developed recently to go against that curse and consequently to make SSFEM applicable for high dimensional problems. These techniques include Low-Rank approaches and solution space reductions. We present a rank-one update scheme based on the variational formulation of the problem. The resulting Low-Rank representation is not necessarily an optimal one with respect to the minimum energy at the given rank. This scheme is extended to an optional solution space adaption and the possibility to compute an optimal decomposition.

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