High-Order Non-Oscillatory Schemes Using Meshfree Interpolating Moving Least Squares Reconstruction for Hyperbolic Conservation Laws

Yomsatieankul, Warisa

In den letzten Jahren stieg das Interesse für die Entwicklung und Anwendung der netzfreien Verfahren an. Diese Verfahren basieren im Allgemeinen auf der Moving Least Square (MLS) Methode. Die interpolierende Form wird durch die Einführung einer singulären gewichteten Funktion bestimmt, um eine Kernfunktion, die so genannte IMLS Methode, aufzubauen. Die IMLS Methode mit ihrer Kernfunktion erfüllt die Kronecker Delta Eigenschaft und besitzt zugleich die Merkmale der Knoten-Interpolation. Um die IMLS Methode genauer zu untersuchen, wird die explizite Formel der IMLS Ableitung hergeleitet. Diese Verfahren finden in den linearen skalaren Erhaltungssätzen mit Euler- und Lax-Wendroff- Zeitintegration Anwendung. Ein Verfahren höherer Ordnung wird über der Taylor Entwicklung vorgestellt. Dabei werden die Variablen und die aufeinander folgenden Ableitungen anhand der IMLS Methode rekonstruiert. Eine Analyse der L2-Norm der Methode wird dargestellt. Die gewichteten wesentlich nichtoszillierenden Verfahren werden an die neue Methode angepasst um Oszillationen zu vermeiden. Das neue Verfahren, das auf versetzten Gittern basiert, wird für die Raum-Diskretisierung, und die zentrale Runge-Kutta Verfahren für die Zeit-Integration benutzt. Die numerischen Ergebnisse dieser Methode zeigen eine der L2-Norm-Analyse entsprechende Genauigkeit. Repräsentative Simulationen zeigen, dass die vorgeschlagene Methode auf hyperbolische Erhaltungsgleichungen angewendet werden kann.

Meshfree methods have attracted much attention for the development and their applications in the recent years. The methods are commonly formulated using the Moving Least Squares (MLS) methods. The interpolation version of the methods is determined by introducing the singular weight functions for constructing the shape functions and called as Interpolating Moving Least Squares (IMLS) methods. Since the shape functions of the IMLS interpolants satisfy the Kronecker delta, the IMLS methods have the property of nodal interpolation. For more information of the IMLS method the explicit formulae of the derivatives of the IMLS interpolants are derived. The methods are applied to a linear scalar conservation law with the Euler and Lax-Wendroff time discretizations. The higher order schemes are presented employing a Taylor series expansion. The field variables and their successive derivatives are reconstructed using the IMLS methods. An analysis of the L_2-norm of this method is given. The Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO) schemes are adopted in the new schemes to prevent spurious oscillation. Our new methods based on staggered grids are discretized on space and the central Runge-Kutta schemes are used for time integration. Numerical results show that our new methods achieve the expected accuracy from an analysis of L_2-norm. Representative simulations show that the proposed methods are applicable to hyperbolic conservation laws.

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Yomsatieankul, Warisa: High-Order Non-Oscillatory Schemes Using Meshfree Interpolating Moving Least Squares Reconstruction for Hyperbolic Conservation Laws. 2010.

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