Ein Ansatz zur Stabilitätsuntersuchung von Systemen mit nicht konstanter Abtastung

Grobe, Marcus

In dieser Arbeit wird ein Verfahren zur Stabilitätsprüfung hybrider Systeme beschrieben. Das entwickelte Verfahren lässt es zu, einen garantiert stabilen Bereich für die Variation der Abtastzeit anzugeben. Da veränderliche Abtastzeiten äquivalent zu variierenden Laufzeiten sind, wie sie beispielsweise durch Bussysteme verursacht werden, kann das Verfahren auch auf dezentrale hybride Regelungen angewendet werden, bei denen Sensoren und Aktoren über Bussysteme mit der Regelung gekoppelt sind. Die zur Herleitung des Verfahrens eingesetzten Methoden basieren auf dem Begriff der robusten Stabilität, die es ermöglicht, Stabilität für Systeme zu garantieren, die Unsicherheiten unterliegen. Daher wird die veränderliche Abtastzeit in einem ersten Schritt durch einen nichtlinearen Eingriff modelliert und anschließend in eine äquivalente Unsicherheit umgerechnet. Die Darstellung des mit Unsicherheiten behafteten Systems erfolgt als lineare Fraktionaltransformation. Anhand dieses Modells wird anschließend die Stabilität in Bezug auf eine Variation der Abtastzeit untersucht. Als Ergebnis des Verfahrens erhält man einen Bereich für die Abtastzeit, in dem Stabilität für das Gesamtsystem garantiert werden kann. Dabei ist es unerheblich, mit welcher Dynamik die Abtastzeit verändert wird. Anschließend werden die theoretischen Ergebnisse anhand eines realen Systems verifiziert. Dazu wurde im Rahmen eines Industrieprojektes ein Versuchsstand mit vier auf Winkelgleichlauf zu regelnden Gleichstromantrieben aufgebaut, eine Regelung entworfen und diese in eine speicherprogrammierbare Steuerung implementiert. Die Kommunikation der Regelung mit den Stellgliedern und der Messwerterfassung erfolgte über ein Bussystem. Nach der Modellierung des Gesamtsystems wird mit Hilfe des entwickelten Verfahrens der garantiert stabile Bereich für die Variationsbreite der Abtastzeit am Versuchsstand berechnet und die so bestimmten Stabilitätsgrenzen durch Messungen am Prüfstand verifiziert.

In this thesis, a method is presented which allows the specification of stability margins for hybrid control systems composed of a sampled data feedback controller with varying sampling time and a continous linear system. The developed method provides lower und upper bounds for the sampling time and thus defining a range within guaranteed stability is ensured. The effect of varying sampling time and varying time delays of bus systems are equivalent. Therefore, the presented method can also be used for stability tests of decentralized controlled hybrid systems where the sensors and the actuators are linked to the controller by various bus systems. The derivation of the method is based on concepts of robust stability, which allows stability tests for systems with uncertainties. In a first step the varying sampling time is modeled by a non-linear operation. Afterwards, the non-linearity is converted into an uncertainty. Now the system can be represented as a linear fractional transformation. Based on this model the stability of the time varying system can be analyzed with respect to variations of sampling time. As a result this method specifies a range for the sampling time within which stability of the varying system can be guaranteed, regardless of the dynamics of the variation. Afterwards, the theoretical results are verified by measurements on a real system. A test bed was set up within the frame of an industrial project. The controllers were implemented in a programmable logic controller to ensure position synchronisation of four DC motors. All communications between the controller, actuators and sensors are established by bus systems. After modeling the overall system, the presented method is used to determine the stability margins of the test bed concerning the sampling time. Finally, the calculated bounds are verified by measurements.

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Grobe, Marcus: Ein Ansatz zur Stabilitätsuntersuchung von Systemen mit nicht konstanter Abtastung. 2009.

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