Exakte kleinste Quadrate Interpolierende: Konvergenzresultate vom Korovkin-Typ und Anwendungen im Kontext der numerischen Approximation von Erhaltungsgleichungen

Nowak, Oliver GND

In den frühen 1980er Jahren veröffentlichten Peter Lancaster und Kestutis Salkauskas die so genannte moving least squares interpolation, eine Methode zur glatten Interpolation von beliebig verteilten multivariaten Daten. Die entsprechenden interpolierenden Funktionen minimieren lokal singulär gewichtete kleinste Quadrate Funktionale. Diese Arbeit untersucht die exakte kleinste Quadrate Interpolation, ein zur Methode nach Lancaster und Salkauskas verwandter Ansatz. Nach einem Vergleich dieser beiden Ansätze beweisen wir Konvergenzresultate für die exakte kleinste Quadrate Interpolation vom Korovkin-Typ. Hierfür übertragen und verallgemeinern wir bekannte Konvergenzsätze vom Korovkin-Typ für lineare und positive Operatoren auf Folgen von linearen und regulären Operatoren, die auf Räumen stetiger Funktionen definiert sind. Neben diesen Untersuchungen bringen wir Anwendungen der exakte kleinste Quadrate Interpolation in einem Kontext von Ableitungs-Approximationen durch Finite Differenzen und der numerischen Behandlung von nichtlinearen skalaren Erhaltungsgleichungen.

In the early 1980s, Peter Lancaster and Kestutis Salkauskas introduced moving least squares interpolation. This is a technique for the smooth interpolation of multivariate scattered data. The corresponding interpolating functions are local minimizers of certain least squares functionals equipped with singular weighting functions. In this thesis we examine exact least squares interpolation, which is a technique related to the approach given by Lancaster and Salkauskas. We provide a comparision of the two approaches. Moreover, we prove Korovkin-type convergence results for exact least squares interpolation. For this reason, we establish a generalised Korovkin-type theorem for sequences of linear and regular operators on spaces of continuous functions utilizing common Korovkin-type theorems for linear and positive operators. We also study basic applications from exact least squares interpolation in the context of derivative approximations by finite difference operators and the numerical treatment of nonlinear scalar conservation laws.

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Nowak, Oliver: Exakte kleinste Quadrate Interpolierende: Konvergenzresultate vom Korovkin-Typ und Anwendungen im Kontext der numerischen Approximation von Erhaltungsgleichungen. 2009.

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