Periodic structures in the graph associated with p-groups of maximal class

Dietrich, Heiko GND

A finite p-group of order p to the power of n has maximal class if its nilpotency class is n-1. A first major study of maximal class groups was carried out by Blackburn in 1958. He established a classification of the 2- and 3-groups of maximal class in terms of finitely many parametrised group presentations. Although the structure of maximal class groups has been investigated in detail, such a classification for primes greater than 3 is still open. Nowadays, groups of maximal class form an important special case in coclass theory. The coclass of a finite p-group of order p to the power of n with nilpotency class c is defined as n-c, that is, the p-groups of coclass 1 are exactly the p-groups of maximal class. Motivated by Leedham-Green and Newman in 1980, the investigation of the p-groups of a fixed coclass has developed into an active research area. A fruitful approach in coclass theory is to study the coclass graph associated with the p-groups of a fixed coclass. For the p-groups of maximal class, the graph G(p) is defined as follows: Its vertices are the isomorphism types of finite p-groups of maximal class, and two groups G and H are connected by a directed edge from G to H if and only if G is isomorphic to the central quotient of H. It is proved in this thesis that there are two types of graph-theoretic periodicities within G(p) such that significant parts of the graph can be described by these periodic patterns. Moreover, these periodic structures are proved to be reflected in the structure of the groups. The results of this thesis strongly support the conjecture that the p-groups of maximal class can be classified by finitely many parametrised presentations.

Eine p-Gruppe der Ordnung p hoch n hat maximale Klasse falls ihre Nilpotenzklasse n-1 ist. Eine grundlegende Arbeit über Gruppen mit maximaler Klasse wurde von Blackburn im Jahre 1958 veröffentlicht. Er vervollständigte die Klassifikation der 2- und 3-Gruppen mit maximaler Klasse durch die Angabe von endlich vielen parametrisierten Gruppenpräsentationen. Obwohl die Struktur der Gruppen mit maximaler Klasse detailliert untersucht wurde, ist eine solche Klassifikation für größere Primzahlen offen. Heutzutage bilden die p-Gruppen mit maximaler Klasse einen wichtigen Spezialfall in der Koklassen-Theorie. Die Koklasse einer p-Gruppe mit Ordnung p hoch n und Nilpotenzklasse c ist definiert als n-c, das heißt, die p-Gruppen mit Koklasse 1 sind genau die p-Gruppen mit maximaler Klasse. Die Untersuchung von p-Gruppen mit fester Koklasse wurde 1980 von Leedham-Green und Newman motiviert und entwickelte sich zu einem aktiven Forschungsgebiet. Ein vielversprechender Ansatz in der Koklassen-Theorie ist die Untersuchung des den p-Gruppen mit fester Koklasse zugeordneten Koklassen-Graphen. Für die p-Gruppen mit maximaler Klasse ist der Graph G(p) wie folgt definiert: Die Knoten sind die Isomorphietypen von endlichen p-Gruppen mit maximaler Klasse und zwei Gruppen G und H sind genau dann durch eine gerichtete Kante von G nach H verbunden, falls G isomorph zu dem zentralen Quotienten von H ist. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass es zwei verschiedene Typen von graphentheoretischen Periodizitäten innerhalb von G(p) gibt, so dass signifikante Teile des Graphen durch diese periodischen Muster beschrieben werden können. Weiterhin wird bewiesen, dass die periodischen Muster sich in der Struktur der involvierten Gruppen widerspiegeln. Die Resultate dieser Arbeit untermauern die Vermutung, dass die p-Gruppen mit maximaler Klasse durch endlich viele parametrisierte Gruppenpräsentationen klassifiziert werden können.



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