Gibbs-Maße und Markov-Ketten

Scharlau, Tim

Ende der sechziger Jahre wurde die Idee der Gibbs-Maße als stochastische Felder von Dobrushin, Lanford und Ruelle geprägt. Das Ziel war eine mathematisch rigorose Beschreibung der statistischen Mechanik. Im Laufe der Zeit haben sich die Gibbs-Maße neben der Bedeutung für die Physik als reiche Theorie im Bereich der Stochastik erwiesen. So sind z. B. unter bestimmten Voraussetzungen Gibbs-Maße äquivalent zu Markov-Ketten. Ziel der Arbeit ist es den Begriff des Gibbs-Maßes verständlich einzuführen und erstmalig unterschiedliche Aspekte der Gibbs-Maße von der Definition als stochastisches Feld über stationäre Maße von Prozessen und zellularen Automaten bis zur Äquivalenz zu Markov-Ketten zusammenzustellen. Das ist in dieser Form und Themenauswahl bisher nicht geschehen, so dass Anfänger eine lange Einarbeitungszeit in das Gebiet der Gibbs-Maße benötigten und die Zusammenhänge zu anderen Bereichen der Mathematik verloren. Als besonders fruchtbar stellt sich die oben erwähnte Äquivalenz von Gibbs-Maßen und Markov-Ketten heraus. Dies zeigt sich z. B. in der Verwendung von Gibbs-Maßen bei der Analyse von DNS. Da der Autor das erste Staatsexamen für das höhere Lehramt in Mathematik und Physik gemacht hat und in Zukunft als Lehrer an Gymnasien arbeiten wird, schließt die Arbeit mit einem Kapitel zur Rolle von Markov-Ketten in der gymnasialen Oberstufe. Neben der Verbindung von Analysis, Lineare Algebra und Stochastik in der Oberstufe, bietet sich u. a. durch die unter bestimmten Voraussetzungen vorliegende Äquivalenz von Markov-Ketten und Gibbs-Maßen die Möglichkeit, fächerübergreifend zu unterrichten. Denn fasst man die Parametermenge der Markov-Kette als eine räumliche statt zeitliche Menge auf, so kommt man z. B. zum Ising-Modell.

The idea of Gibbs measures as random fields was developed by Dobrushin, Lanford and Ruelle at the end of the 1960s. They aimed at a rigorous mathematical description of statistical mechanics. In the course of time Gibbs measures have proved to be valuable not only in physics but also in probability theory. Thus, under certain circumstances Gibbs measures are equivalent to Markov chains. In my thesis, I want to introduce the term Gibbs measures in an understandable way and bring together different aspects of Gibbs measures - from their definition as a random field to stationary measures of processes and cellular automata or the equivalence to Markov chains. This has not been done in this extent before so that it has taken beginners a lot of time to make themselves acquainted with the field of Gibbs measures. Moreover, the thesis intend to connect the theory of Gibbs measures with other mathematical fields. The equivalence between Gibbs measures and Markov chains turned out to be especially fruitful. As a consequence, Gibbs measures are used for DNA analyses. Since the author is going to be a grammar school teacher for mathematics and physics, the thesis ends with a chapter about the use of Markov chains in school. Apart from the connection between analysis, linear algebra and probability theory, the equivalence of Gibbs measures and Markov chains, which is given under certain circumstances as mentioned above, offers an opportunity to integrate several school subjects: If the parameter set of a Markov chain is taken as a spatial set instead of a temporal set we can get to the Ising model.

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Scharlau, Tim: Gibbs-Maße und Markov-Ketten. 2008.

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