Nonparametric Modelling and Estimation of Stochastic Volatility

Dürkes, Andreas

In der vorliegenden Arbeit werden stochastische Volatilitätsmodelle in diskreter Zeit betrachtet. Die Verteilung der Innovationen des Renditeprozesses wird als unbekannt vorausgesetzt. Wir nehmen an, daß der zugrunde liegende nicht beobachtbare Volatilitätsprozeß einer nicht parametrischen autoregressiven Struktur erster Ordnung folgt und sind an einem Schätzer für die Regressionsfunktion interessiert. Die betrachteten Modelle verallgemeinern einerseits parametrische autoregressive Modelle mit zufälliger Varianz und andererseits nichtparametrische stochastische Volatilitätsmodelle, in denen man davon ausgeht die Verteilung der Innovationen des Renditeprozesses zu kennen. Wir machen uns die verbreitete Annahme zu Nutze, daß sich die Volatilität vergleichsweise langsam verändert. In einem ersten Modell nehmen wir den Extremfall an, daß wir mindestens zwei Renditen beobachten können, die auf exakt der gleichen Volatilität basieren. Unter gewissen Annahmen können wir in dieser Situation die charakteristische Funktion der Verteilung der Innovationen schätzen. Mit Hilfe dieser Funktion läßt sich basierend auf einem Dekonvolutionskern ein Schätzer für die Autoregressionsfunktion des Volatilitätsprozesses angeben. In dieser Situation erzielen wir Konsistenz des Schätzers. In einer zweiten Situation nehmen wir an, daß wir die Volatilität um ein Rauschen gestört beobachten können, das mit wachsendem Stichprobenumfang stochastisch gegen Null konvergiert. Hier betrachten wir ebenfalls nichtparametrische Kernschätzer und erzielen die gleichen asymptotischen Resultate wie in der Situation mit direkt beobachtbarer Volatilität. Weiterhin werden zwei Modelle vorgestellt, die eben diese Annahmen erfüllen. Schließlich betrachten wir noch ein nichtparametrisches GARCH(1,1)-Modell und zeigen asymptotische Normalität eines Schätzers der stationären Dichte des Prozesses, der dieser Struktur folgt.

We consider nonparametric stochastic volatility models in discrete time with unknown distribution of the innovations of the return process. As underlying and not observable volatility process we assume a nonparametric autoregressive structure of first order. We are interested in estimators for this autoregression function. The considered models generalise on one hand parametric autoregressive random variance models and on the other hand nonparametric stochastic volatility models for which the distribution of the innovations of the returns is assumed to be known. We make use of the well accepted assumption that volatility changes (rather) slowly. In a first model we deal with the extreme situation that at least two observed returns are based on exactly the same volatility, which brings us to a situation comparable to panel data. Under certain assumptions we can estimate the characteristic function of the distribution of the innovations. We need an estimator of this distribution in order to define a so-called deconvolution kernel estimate for the autoregression function of the volatility process. In this situation we achieve consistency of our estimator. In another situation we assume, that we can observe the volatility disturbed by a noise, which converges to zero in probability whith increasing sample size. Here we investigate nonparametric kernel-smoothers as well and achieve the same asymptotic results for our estimator as in the situation in which we are able to observe the volatility directly. Furthermore we introduce two models, which fulfill these assumptions. Finally we consider a nonparametrich GARCH(1,1)-model and show asymptotic normality of an estimator of the stationary density of a process following this structure.

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Dürkes, Andreas: Nonparametric Modelling and Estimation of Stochastic Volatility. 2006.

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