Der Satz von Minkowski für Quader

Wolf, Clemens

Sei G(n) ein n-dimensionales (Punkt-) Gitter im n-dimensionalen euklidischen Raum und Q(n) ein n-dimensionaler nullpunktsymmetrischer Quader in G(n), in dessen Innern keine nichttrivialen Gitterpunkte aus G(n) liegen. Der Gitterpunktsatz von Minkowski gibt das maximale das Volumen eines solchen Quaders Q(n) in Abhaengigkeit der Gitterdeterminante von G(n) vor. In dieser Arbeit wird fuer die Dimensionen 2 und 3 die Konstruktion von Minkowski-Quadern mit dem maximalen Volumen erarbeitet und Eigenschaften bezueglich der Achsenverhaeltnisse und der Anzahl nichttrivialer Gitterpunkte auf dem Rand derartiger Quader dargestellt. Des weiteren werden solche Untersuchungen im 2-dimensionalen fuer Quader mit einer gewissen Anzahl nichttrivialer innerer Gitterpunkte durchgefuehrt. Das maximale Volumen wird in diesem Fall in Abhaengigkeit der nichttrivialen inneren Gitterpunktpaare des Quaders ermittelt.

Let G(n) be an n-dimensional lattice in the n-dimensional euclidian space, and let Q(n) be an n-dimensional 0-symmetric cube in G(n) with no inner non-trivial lattce-points. Minkowskis theorem states the maximum volume of Q(n) depending on the determinant of G(n). In this paper, the construction of 2- and 3-dimensional Minkowski-cubes with maximum Volume is shown and attributes such as the relationship between the lenght of the axes and the amount of non-trivial lattice-points on the surfaces of these cubes are illustrated. Furthermore, these investigations are carried out for 2-dimensional cubes with a certain amount of non-trivial inner lattice-points. The maximum volume in this case is calculated depending on the amount of non-trivial inner lattice-point pairs of the cube.

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Wolf, Clemens: Der Satz von Minkowski für Quader. 2004.

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