Data driven kernel choice in nonparametric curve estimation

Dalelane, Clementine

Für den Fall der eindimensionalen Kern-Dichteschätzung bei unabhängigen, identisch verteilten Beobachtungen wird eine Cross-Validation-Technik für die Wahl des Kerns aus der Klasse aller $L_2$-integrierbaren Kernfunktionen mit unimodaler Fouriertransformierter vorgeschlagen. Der resultierende Schätzer ist sowohl asymptotisch MISE-effizient als auch asymptotisch minimax-adaptiv auf der gesamten Skala von Sobolev-Klassen mit Glattheitsindex größer als 1/2, einschließlich $infty$. Die Beweise stützen sich auf eine additive Zerlegung der betreffenden empirische Prozesse. Die Methode wird anschließend auf die nichtparametrische Regressionsschätzung übertragen. Das Minimax-Risiko auf Sobolev-Klassen mit nichtganzzahligen Glattheitsindex wird hergeleitet.

In the case of one dimensional kernel density estimation on independent identically distributed observations, we suggest a cross-validation technique for the selection of a kernel from the class of all $L_2$-integrable kernel functions which have a unimodal Fourier transform. The resulting estimator is both asymptotically MISE-efficient and asymptotically minimax-adaptive over the whole scale of Sobolev classes with smoothness index greater than 1/2, including $infty$. The proofs rely on an additive decomposition of the empirical processes involved. The technique is further applied to non-parametric regression estimation. The minimax risk is established on Sobolev classes with non-integer smoothness index.

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Dalelane, Clementine: Data driven kernel choice in nonparametric curve estimation. 2004.

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