Das Adjungiertenverfahren in der aerodynamischen Formoptimierung

Gauger, Nicolas Ralph

Die sogenannten Adjungiertenverfahren zur deterministischen gradientenbasierten aerodynamischen Formoptimierung ermöglichen eine effiziente Bestimmung der Ableitungen der Zielfunktion der Optimierungsaufgabe nach den Entwurfsvariablen. Im Gegensatz zu den herkömmlichen Finite-Differenzen-Verfahren ist das Adjungiertenverfahren unabhängig von der Anzahl der Entwurfsvariablen hinsichtlich des numerischen Aufwandes. Es wird beim Adjungiertenverfahren nur eine Strömungs- und eine adjungierte Strömungsberechnung benötigt, was eine drastische Reduzierung an numerisch aufwendigen Strömungsberechnungen für eine hohe Anzahl an Entwurfsvariablen mit sich bringt. Zunächst werden anhand der diskreten Adjungierten für lineare Gleichungen das Adjungiertenverfahren eingeführt, erklärt und seine Vorteile erläutert. Als eine natürliche Erweiterung wird sodann das kontinuierliche Adjungiertenverfahren vorgestellt und ein Verfahren zur Konstruktion adjungierter Randoperatoren erarbeitet. Überlegungen zur Wohlgestelltheit adjungierter Problemformulierungen werden vorgenommen. Der Einsatz des Adjungiertenverfahrens in der aerodynamischen Formoptimierung wird im Detail für die Euler-Gleichungen als Kontrollgleichungen erklärt, sowie die Eigenschaften der adjungierten Euler-Gleichungen untersucht. Die Zielgrößen sind hierbei der Widerstand, der Auftrieb sowie das Nickmoment. Neben der bekannten Volumenformulierung der Gradienten der Zielgrößen wird eine neue, praktikablere Oberflächenformulierung hergeleitet und numerisch erprobt. Die Implementierung eines adjungierten Euler-Lösers in den RANS-Löser FLOWer wird erklärt und dessen Validierung und Einsatz in der aerodynamischen Formoptimierung dargelegt.

The so-called adjoint approach for deterministic gradient based aerodynamic shape optimization enables an efficient evaluation of the derivatives of the cost function of the optimization problem with respect to the design variables. Contrary to the conventional finite differences approach the adjoint approach is independent of the number of design variables with respect to the numerical costs. Only one flow and one adjoint flow calculation are needed in case of the adjoint approach, which means, when one has a high number of design variables, a dramatic reduction in costly, numerically intensive flow calculations. To begin, the adjoint approach is introduced and explained by the example of the discrete adjoint of linear equations. The advantages of this approach are highlighted. Then, as a natural extension of the previous example, the continuous adjoint approach is presented and a method to construct adjoint boundary operators is worked out. Well-posedness of the adjoint formulation is considered. The use of the adjoint approach in aerodynamic shape optimization is explained in detail using the Euler equations for control. The characteristics of the adjoint Euler equations are investigated. The cost functions are drag, lift, and pitching moment. In addition to the well known volume formulation for the gradient of the cost function, a new, more practically applicable surface formulation is derived and proved numerically. The implementation of an adjoint solver in the RANS solver FLOWer is explained. The adjoint solver is validated and applied to several aerodynamic shape optimization problems.

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Gauger, Nicolas Ralph: Das Adjungiertenverfahren in der aerodynamischen Formoptimierung. 2003.

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