Galerkin Methods for Linear and Nonlinear Elliptic Stochastic Partial Differential Equations

Matthies, Hermann G.; Keese, Andreas

Stationary systems modelled by elliptic partial differential equations---linear as well as nonlinear---with stochastic coefficients (random fields) are considered. The mathematical setting as a variational problem, existence theorems, and possible discretisations---in particular with respect to the stochastic part---are given and investigated with regard to stability. Different and increasingly sophisticated computational approaches involving both Wiener's polynomial chaos as well as the Karhunen-Loève expansion are addressed in conjunction with stochastic Galerkin procedures, and stability within the Galerkin framework is established. New and effective algorithms to compute the mean and covariance of the solution are proposed for various approaches. The similarities and differences with better known Monte Carlo methods are exhibited, as well as alternatives to integration in high-dimensional spaces. Hints are given regarding the numerical implementation and parallelisation.Numerical examples serve as illustration.

Wir betrachten stationäre Systeme---sowohl linear also nichtlineare---welche durch elliptische partielle Differentialgleichungen mit stochastischen Koeffizienten (stochastischen Feldern) beschrieben werden. Wir formulieren diese stochastischen partiellen Differentialgleichungen in variationeller Form und diskutieren verschiedene Diskretisierungen, insbesondere bezüglich der stochastischen Dimensionen. Wir stellen verschiedene Vorgehensweisen wachsender Komplexität für die numerische Lösung vor. Dabei liegt der Schwerpunkt auf Galerkin-Verfahren mit Wieners polynomialen Chaos und der Karhunen Loève Entwicklung. Für die Galerkin-Verfahren zeigen wir numerische Stabilität. Für die Berechnung des Mittelwertes und der Kovarianz der Lösung schlagen wir verschiedene neue und effektive Algorithmen vor. Dabei stellen wir die Ähnlichkeiten und Unterschiede mit den wohlbekannten Monte Carlo-Verfahren heraus und stellen Alternativen für die hochdimensionale Integration vor. Wir geben Hinweise für die numerische Implementierung und Parallelisierung und zeigen zur Illustration numerische Beispiele.

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Matthies, Hermann / Keese, Andreas: Galerkin Methods for Linear and Nonlinear Elliptic Stochastic Partial Differential Equations. Braunschweig 2003. Institut für Wissenschaftliches Rechnen.

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