Fragen der numerischen Integration bei stochastischen Finiten Elementen für nichtlineare Probleme : Erweiterte Version eines Vortrages auf der "International Conference on the Applications of Computer Sciences and Mathematics, Architecture and Civil Engineering (IKM 2003)", Weimar, 2003

Keese, Andreas; Matthies, Hermann G.

Wir beschreiben numerische Verfahren zur Lösung stationärer nichtlinearer Probleme mit stochastischen Unsicherheiten im Operator, in den Randbedingungen und in den Lasten. Dabei vergleichen wir hochdimensionale (Smolyak) Quadraturverfahren mit Monte Carlo-Integrationsverfahren zur direkten Berechnung von Statistiken der Lösung. Zusätzlich berechnen wir die Lösung mit einem Galerkin-Verfahren in einem Raum stochastischer Ansatzfunktionen und untersuchen die Auswertung der im Residuum auftretenden hochdimensionalen Integrale. Für das entstehende große gekoppelte nichtlineare Gleichungssystem stellen wir einen effizienten Löser vor. Schließlich berechnen wir die Lösung durch direkte Projektion auf den orthogonalen stochastischen Ansatzraum und vergleichen die beschriebenen Lösungsverfahren anhand von Modellproblemen.

We describe methods for the numerical solution of nonlinear problems with stochastic uncertainties in the operator, boundary conditions, and right hand side. First, we compute statistics of the solution directly as high-dimensional integrals and compare their evaluation by sparse (Smolyak) quadrature and Monte Carlo integration. Subsequently, we employ a Galerkin method to obtain an expansion of the solution in a stochastic ansatz-space. This requires the numerical evaluation of the residual, which is again a high-dimensional integral, and we show that sparse quadrature may be an efficient technique for this. The large nonlinear system resulting from the Galerkin conditions is solved by quasi-Newton methods. Finally, we alternatively compute the expansion of the solution by direct orthogonal projection onto stochastic ansatz-functions.

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Keese, Andreas / Matthies, Hermann: Fragen der numerischen Integration bei stochastischen Finiten Elementen für nichtlineare Probleme. Erweiterte Version eines Vortrages auf der "International Conference on the Applications of Computer Sciences and Mathematics, Architecture and Civil Engineering (IKM 2003)", Weimar, 2003. Braunschweig 2003. Institut für Wissenschaftliches Rechnen.

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