On multipartite symmetric states in Quantum Information Theory

Eggeling, Tilo

Diese Dissertation beschreibt die Anwendung von Symmetrie auf multipartite Quantensysteme. Sie ist im Rahmen der abstrakten Quanteninformationstheorie geschrieben. Die Ergebnisse sind mathematisch rigoros und zielen auf eine Beschreibung von Verschränktheitseigenschaften sowie operationellen Eigenschaften der Zustände von multipartiten Systemen. Das erste Kapitel stellt die mathematischen Werkzeuge und Konzepte zusammen, die in den folgenden Kapiteln benötigt werden und kann vom erfahrenen Leser ausgelassen werden. In Kapitel zwei wird das Konzept der Symmetrie auf multipartite Systeme angewendet und gezeigt, wie man Familien von symmetrischen Zuständen konstruiert, die durch nur wenige Parameter beschrieben werden können. Kapitel drei widmet sich den Zuständen dreigeteilter Systeme, die Werner-Symmetrie haben. Es wird eine Charakterisierung der Separarbilitätseigenschaften gegeben und ihre Verschränktheitseigenschaften untersucht. Ein quantitativer Vergleich verschiedener Verschränktheitsmonotone wird gegeben. Weiterhin wird die Möglichkeit des Einbettens der bipartiten Werner-Zustände und die innere Geometrie der Mannigfaltigkeit, die durch den statistischen Abstand von zwei benachbarten tripartiten Werner-Zuständen gegeben wird, untersucht. Das vierte Kapitel stellt das multipartite „Quantum Data Hiding“ als Anwendung der multipartiten Werner-Zustände vor. Die asymptotische Sicherheit des Protokolls für beliebige „Verschwörungen“ und Sicherheitsstufen wird bewiesen und mehrere Beispiele gegeben. Das letzte Kapitel befasst sich mit der „shared fidelity“ von multipartiten Systemen, dessen Frustration und wie sie für bestimmte multipartite Systeme maximiert werden kann.

This dissertation describes the application of symmetry to multipartite quantum systems from the viewpoint of quantum information theory. It is written in the framework of abstract quantum information theory, i.e. without distinguishing the physical nature of the d-level systems considered. The results are mathematically rigorous and aim at investigating entanglement properties as well as operational properties of states of multipartite systems. The first chapter gathers the mathematical tools and concepts needed in the following chapters and can be omitted by the experienced reader. In chapter two we apply the concept of symmetry to multipartite systems and show how to construct families of symmetric states that can be described by few parameters only regardless of the size of single systems. Chapter three is devoted to the states of tripartite systems having Werner symmetry. We characterize their separability properties and analyze the strength of the known separability criteria. Furthermore we investigate their entanglement properties in terms of the relative entropy of entanglement, the entanglement monotone induced by the trace norm distance and the maximal violation of Bell inequalities. As a third aspect we analyze the possibility of embedding bipartite Werner states and explore the inner geometry of the manifold given by the statistical distance of two neighbouring tripartite Werner states. In the fourth chapter we introduce multipartite quantum data hiding as an application of multipartite Werner states. We prove the security of this protocol for any coalition and give various examples. The last chapter is concerned with the shared fidelity, its frustration and how it can be maximized in certain multipartite systems.

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Eggeling, Tilo: On multipartite symmetric states in Quantum Information Theory. 2003.

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