Nonlinear anisotropic diffusion filters for the numerical approximation of conservation laws

Grahs, Thorsten

In der vorliegenden Arbeit werden nichtlineare anisotrope Diffusionsfilter aus der Bildverarbeitung in Algorithmen zur numerischen Approximation von skalaren wie auch von Systemen von Erhaltungsgleichungen integriert. Dazu werden diese Filterverfahren mit einem numerischen Verfahren für Erhaltungsgleichungen von zweiter Ordnung Genauigkeit gekoppelt, namentlich dem Schema von Lax und Wendroff. Die resultierenden Schemata zur Diskretisierung von Erhaltungsgleichungen zeichnen sich durch ein neues, nichtlineares, anisotropes Diffusionsmodell aus. Dies führt zu einem oszillationsreduzierenden Verfahren von zweiter Approximationsordnung mit scharfer Auflösung der Stoßunstetigkeiten. Weiterhin werden die anisotropen Diffusionsfilter für Systeme von Erhaltungsgleichungen, namentlich den Euler-Gleichungen der Gasdynamik, angepasst. Dazu wird die charakteristische Formulierung der Euler-Gleichungen verwendet und die Filteralgorithmen auf die jeweiligen charakteristischen Felder separat angewendet. Für alle in dieser Arbeit entwickelten numerischen Verfahren zur Approximation von Erhaltungsgleichungen werden entsprechende Testfälle berechnet.

This work integrates nonlinear discrete dissipation models -- namely anisotropic diffusion filters -- into the field of the numerical approximation for conservation laws is accomplished. Second-order accurate methods, namely the Lax-Wendroff scheme, are stabilised using the anisotropic dissipation filters combined with the shock detector. A new class of numerical schemes with nonlinear anisotropic dissipation models are derived. These algorithms nearly reduce all oscillations while the sharp shock resolution of the high-order scheme is maintained. Furthermore, emanating from the positivity requirement an alternative scheme is developed which is founded on the wave propagation algorithms developed by LeVeque. The corresponding dissipation model can be considered as a member of the class of anisotropic diffusion filters. The developed positive diffusion filter, based on an entropy steered coefficient correction, is nearly oscillation-free and comparable to the application of limiter functions. The class of anisotropic diffusion filters is extended to systems of conservation laws, namely the Euler equations. This is done by a characteristic splitting where the filter algorithm is applied to each characteristic field separately. Thus, it is shown that the extension of the class of anisotropic dissipation filter to systems of equations is possible in principle.

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Grahs, Thorsten: Nonlinear anisotropic diffusion filters for the numerical approximation of conservation laws. 2002.

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