Multiplikation und t-Conorm-Integral

Siedekum, Jens

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Untersuchung multiplikationsähnlicher Abbildungen. Diese sogenannten Pseudo-Multiplikationen werden axiomatisch charakterisiert und in Verbindung mit Pseudo-Additionen gebracht, für die stetige, aber nicht notwendigerweise archimedische t-Conormen gewählt werden. Für das Zusammenspiel der Operationen sind dabei Distributivgesetze und Einselemente entscheidend. Auf Assoziativität und Kommutativität der Pseudo-Multiplikationen wird bewußt verzichtet. Ziele der vorliegenden Arbeit sind Aussagen über die Struktur und mögliche Gleichheit der Pseudo-Additionen sowie Darstellungen der Pseudo-Multiplikationen mittels Erzeuger der beteiligten Pseudo-Additionen. Neu in diesem Zusammenhang ist ein schwaches Distributivgesetz, dessen Geltungsbereich entsprechend der Ordinalsummen-Struktur der Pseudo-Addition eingeschränkt ist, und die Verwendung eines individuellen statt eines universellen Einselements. Durch Beispiele wird aufgezeigt, inwiefern erzielte Ergebnisse nicht mehr verbessert werden können. In einem weiteren Teil der Arbeit wird als Anwendung die Verallgemeinerung einer Integralkonstruktion von Sugeno/Murofushi vorgestellt. Die dabei benötigte Pseudo-Differenz paßt sehr gut mit dem schwachen Distributivgesetz zusammen. Für dieses t-Conorm-Integral werden grundlegende Eigenschaften und ein Charakterisierungssatz bewiesen.

In this paper we first introduce pairs of binary operations on abitrary intervals, - a generalized addition, which is a continuous (but not necessarily Archimedian) t-conorm and - a generalized multiplication, which is only monotone in both variables and satisfies a weak continuity assumption. The main problem is to determine the structure of the generalized addition and multiplication and to give representations of the generalized multiplication by generators of the generalized addition. It is shown that both problems can be solved assuming only - an appropiate weak left- or right distributive law and - by the existence of a so-called individual (instead of a universal) right- or left unit. We remark that the generalized multiplication is neither associative nor commutative and that many known results are special cases of our results. Moreover we point out by examples that our results are the best possible ones. In the second part of the dissertation we present a generalization of an integral construction of Sugeno/Murofushi. To do this we still need a generalized difference, which will be defined by the aid of the generalized addition. It turns out that this difference is very compatible with weak distributive law. After defining our integral for simple functions, we extend it for measurable functions. We prove basic properties and a characterization theorem for this integral.

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Siedekum, Jens: Multiplikation und t-Conorm-Integral. 2002.

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