Komma-Entwicklung bei gebrochenen Basen

Ullrich, Caroline

Analog zu den Dezimalentwicklungen der positiven reellen Zahlen werden Komma-Entwicklungen zu gebrochenen Basen r/s>1 mit ggT(r,s)=1 untersucht. Jede positive reelle Zahl q besitzt unendlich viele solche r/s-Entwicklungen. Unter gewissen Bedingungen, den sogenannten Ganzheitsbedingungen, sind diese Entwicklungen (r/s-KGE) im Wesentlichen eindeutig. Es wurde ein Verfahren entwickelt, mit dem die Berechnungen der r/s-KGE auf endlich viele Stellen möglich sind, anschließend werden diese Entwicklungen genauer untersucht. Es ergibt sich unter anderem, daß die r/s-KGE niemals periodisch werden und daß die natürlichen Anordnungen der positiven reellen Zahlen mit den lexikographischen Anordnungen ihrer r/s-KGE übereinstimmen.

In analogy to the decimal expansion of positive real numbers (basis = 10) we studied the expansion with fractional bases r/s with gcd(r,s)=1. Every positive real number q has an infinite number of these r/s-comma-expansions, but under certain conditions (integrality conditionds) these expansions are basically unique. We were able to give an exact characterisation of the r/s-comma-expansions fulfilling the integrality conditions (r/s-CEI) after developing an algorithm for calculating finitely many digits of the r/s-CEI. For example, we showed that these r/s-CEI are never periodical. Furthermore we proved that the natural order of positive real numbers is the same as the lexicographical order of their r/s-CEI.

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Ullrich, Caroline: Komma-Entwicklung bei gebrochenen Basen. 2001.

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