Periodic Manifolds, Spectral Gaps, and Eigenvalues in Gaps

Post, Olaf

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit spektralen Eigenschaften des Laplace-Operators auf nichtkompakten, periodischen Mannigfaltigkeiten der Dimension d>1. Eine periodischen Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit,auf der eine abelsche Gruppe eigentlich diskontinuierlich, kokompakt und isometrisch operiert. Unter Zuhilfenahme der Floquet-Theorie kann man zeigen, dass das Spektrum des Laplace-Operators auf einer periodischen Mannigfaltigkeit Bandstruktur besitzt, d. h. das Spektrum ist lokal endliche Vereinigung abzählbar vieler kompakter Intervalle. Sind zwei benachbarte Intervalle disjunkt, so sprechen wir von einer Lücke im Spektrum. In zwei Beispielklassen betrachten wir jeweils eine Familie von periodischen, parameterabhängigen Mannigfaltigkeiten, die in einem gewissen Sinn entkoppeln. Der Parameter steuert die geometrische Größe der Verbindung zwischen den Periodenzellen. Unser Hauptergebnis besteht im Nachweis einer Mindestzahl von Lücken im Spektrum, sofern der Parameter klein genug gewählt wird. Abschließend stören wir die Mannigfaltigkeit lokal und zeigen die Existenz von Eigenwerten in einer solchen Lücke im Spektrum. Da wir mit parameterabhängigen Mannigfaltigkeiten arbeiten, hängt insbesondere der zugrundeliegende Hilbertraum über die Metrik von diesem Parameter ab. Ein Teil der Arbeit widmet sich diesem Problem. Ähnliche Fragestellungen wurden bereits für Schrödinger- und Divergenztyp-Operatoren auf euklidischen Räumen untersucht.

We investigate spectral properties of the Laplacian on non-compact periodic manifolds. A periodic manifold (or covering manifold) is a Riemannian manifold with a properly discontinuous isometric and cocompact action of an abelian group. One can apply Floquet theory to show that the spectrum of the Laplacian has band structure, i.e, the spectrum is the locally finite union of compact intervals. A gap in the spectrum occurs if two neighbouring intervals are disjoint. We construct two classes of (non-compact) periodic manifolds depending on a parameter such that the corresponding Laplacian has gaps in the spectrum. More precisely, given any finite number N, we can find a parameter small enough such that the spectrum has at least N gaps. The parameter controls the geometry at the junction of two period cells. Finally, we disturb the metric of the manifold locally and show the existence of eigenvalues in a spectral gap of the unperturbed (periodic) Laplacian. A main technical problem is the dependence of the Hilbert spaces on the parameter perturbing the manifold. Parts of the work concern this problem. Similar results have been investigated in the case of Schrödinger and divergence type operators in Rd.

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Post, Olaf: Periodic Manifolds, Spectral Gaps, and Eigenvalues in Gaps. 2000.

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