Spectral Concentration for High Contrast Random Media

Lienau, Karsten

Die vorliegende Arbeit untersucht Spektraleigenschaften einer Klasse von selbstadjungierten Operatoren vom Divergenztyp mit zufälligen Koeffizienten. Die zufälligen Koeffizienten werden hierbei rein geometrisch modelliert: auf einer zufälligen Teilmenge M des Rm nehmen die skalarwertigen Koeffizienten den festen Wert 1, sonst den variablen Wert r an, wobei r>>1 gewählt wird. M kann als Störung eines Grundmediums interpretiert werden. In Bezug auf Wärmeleitung könnte man M als gering leitende Sandkörner oder Luftblasen in einem stark leitenden Metall ansehen. Weitere Anwendungen finden sich in der Akustik und bei optischen Kristallen (optische Halbleiter). Zunächst werden geeignete stochastische Modelle für die Beschreibung der aus einzelnen Körnern bestehenden Störmenge M diskutiert. Da alle vorgestellten Modelle zu ergodischen Operatoren führen, sind jeweils sowohl das Spektrum als auch die Zustandsdichte fast sicher unabhängig vom Zufall und somit nicht zufällig. Das Verhalten dieser beiden spektraltheoretischen Größen wird untersucht, insbesondere die Massekonzentration des Zustandsdichtemaßes für große Parameter r>>1 und den Limesfall r gegen Unendlich. Das Konzentrationsverhalten wird bestimmt durch stochastische Mittelbildung von Dirichlet-Problemen auf den das Grundmedium verunreinigenden Körnern. Es wird gezeigt, dass sich das Verhalten des Spektrums und der Zustandsdichte im Limes durch Eigenschaften typischer Körner ausdrücken lässt, und sich somit in das Konzept der Palm-Verteilungen einreiht.

We investigate spectral properties of a class of selfadjoint operators of divergence type with random coefficients. For this we consider purely geometric randomness: within a randomly chosen subset M of Rm the coefficients equal 1, while they equal r on the complement of M, where r>>1. For instance, in terms of heat conduction this setting allows for the following interpretation: a strongly conductive base medium (like a metal) contains randomly distributed impurities of lower conductivity (like grains of sand or air bubbles), namely the set M. This type of operators has also applications in acoustics and photonic crystals (optical semiconductors). Some stochastic processes are discussed to model, in a suitable manner, the individual grains forming the set M. As each presented model leads to ergodic operators, both the spectrum and the density of states of the random operator are almost surely independent of randomness, hence non-random. These spectral characteristics are studied, in particular the mass concentration of the density of states measure, as r>>1, and as r tends to infinity. This concentration behaviour turns out to be completely determined by stochastic averages of Dirichlet problems on the perturbing grains. We show that the limit behaviour of the spectrum and the density of states can be expressed by properties of typical grains. This corresponds to the concept of Palm distributions.

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Lienau, Karsten: Spectral Concentration for High Contrast Random Media. 1999.

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