Diophantische Methoden bei der expliziten Lösung von Einbettungsproblemen in der Galoistheorie

Sommer, Jörn

Sei G eine proendliche Gruppe, und sei e = e(G, j, (*)) ein zentrales Einbettungsproblem für G. Ein solches Einbettungsproblem e ist gegeben durch eine Gruppenerweiterung (*) 1 -> A -> E -> G -> 1 endlicher Gruppen mit abelschem Kern A, auf dem G trivial operiert, zusammen mit einem Epimorphismus j: G -> G; gesucht ist ein (surjektiver) Homomorphismus y: G -> E mit p o y = j, wobei p die Abbildung E -> G bezeichne. Ist K/k eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G = G(K/k) und ist G = G(k/k) die absolute Galoisgruppe von k, so ist - galoistheoretisch interpretiert - die Existenz eines solchen surjektiven Homomorphismus y gleichbedeutend mit der Existenz einer galoisschen Erweiterung L/K/k derart, daß G(L/k) isomorph zu E ist. In dieser Arbeit wird für den Fall, daß G die absolute Galoisgruppe eines algebraischen Zahlkörpers k ist, ein Verfahren beschrieben, wie man unter gewissen Voraussetzungen im Falle der Lösbarkeit von e explizit einen Lösungskörper L konstruieren kann. Dabei betrachtet man das Einbettungsproblem zunächst über einem anderen geeigneten Grundkörper, dem sogenannten Brauerkörper F, welcher sich in kanonischer Weise e zuordnen läßt. Der Körper KF ist ein rationaler Funktionenkörper über K in m-1 Unbestimmten T1, ..., Tm-1, wobei m von e abhängt, und hat über F eine zu G isomorphe Galoisgruppe. e erweist sich über F als lösbar. Man konstruiert sodann einen 'virtuellen' Lösungskörper LF/KF/F für e derart, daß G(LF/F) isomorph zu E ist. Die Lösbarkeit von e über dem ursprünglichen Grundkörper k selbst werde durch eine rationale Varietät beschrieben: Findet man also mittels diophantischer Methoden einen rationalen Punkt auf dieser Varietät, so ist e über k lösbar. Gleichzeitig erhält man durch diesen rationalen Punkt eine Spezialisierung für die Unbestimmten T1, ..., Tm-1, die, wenn man sie in LF einsetzt, einen expliziten Lösungskörper L/K/k für e liefert. Beispiele, u.a. ein Gegenbeispiel zum Hasseschen Normensatz

Let G be a profinite group, and let e = e(G, j, (*)) be a central embedding problem for G. Such an embedding problem e is given by a group extension (*) 1 -> A -> E -> G -> 1 of finite groups with abelian kernel A, on which G operates trivially, together with an epimorphism j: G -> G; then it is searched for a (surjective) homomorphism y: G -> E with p o y = j where p denotes the map E -> G. If K/k is a finite Galois extension with Galois group G = G(K/k), and if G = G(k/k) is the absolute Galois group of k, then - in terms of Galois theory - the existence of such a surjective homomorphism y is equivalent to the existence of a Galois extension L/K/k such that G(L/k) is isomorphic to E. In this work - presuming that G is the absolute Galois group of an algebraic number field k - a method is described how under certain circumstances and in case of a solvable e one can explicitly construct a solution L. One first looks at the embedding problem over a different suitable ground field, the so-called Brauer field F, which can be associated to e in a canonical way. The field KF is a rational function field over K in m-1 variables T1, ..., Tm-1, where m depends on e, and its Galois group over F is isomorphic to G. e proves to be solvable over F. Then one constructs a 'virtual' solution LF/KF/F for e such that G(LF/F) is isomorphic to E. Let the solubility of e over the original ground field k itself be described by a rational variety: So if one finds a rational point on this variety by means of Diophantine methods then e is solvable over k. With this rational point one simultaneously obtains a specialisation for the variables T1, ..., Tm-1, which when substituted in LF gives rise to an explicit solution L/K/k for e. Finally, two examples (a counter-example to Hasse's norm theorem and an example to a theorem of Serre) show how the method works practically.

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Sommer, Jörn: Diophantische Methoden bei der expliziten Lösung von Einbettungsproblemen in der Galoistheorie. 1998.

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