Variational Formulations and Functional Approximation Algorithms in Stochastic Plasticity of Materials

Rosic, Bojana

Im Rahmen der Elastoplastizitätstheorie infinitesimaler und starker Verschiebungen wird eine Klasse von abstrakten, stochastischen Variationsungleichungen betrachtet, welche durch unsichere Parameter beschrieben werden. Im Speziellen wird das raten-unabhängige Evolutionsproblem mit allgemeiner Verfestigung betrachtet, dessen Materialeigenschaften-Verteilung als durch die Maximum-Entropie Methode gegeben angenommen wird. Durch die Darstellung der Struktur der Evolutionsgleichungen in einem konvexen Rahmen wird die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung betrachtet und die mathematische Formulierung in eine berechnungstechnisch besser passende gemischt-variationale Beschreibung überführt. Innerhalb eines Euler-rückwarts Zeitschrittes reduziert sich die Ungleichung auf ein Minimierungsproblem für ein konvexes Energiefunktional auf diskreten Tensorproduktunterräumen, dessen eindeutige Lösung mithilfe eines stochastischen nächstgelegenen-Punkt-Projektionsalgorithmus basierend auf der "white noise Analyse" bestimmt wird. Hierzu wird eine Beschreibung basierend auf nicht-dissipativen und dissipativen Operatoren benutzt und die sogenannte intrusive stochastische Galerkinmethode in den Berechnungsprozess eingeführt. Diese Methode stellt einen direkten algebraischen Weg zur Berechnung der Lösung in jeder Iteration von Newton-ähnlichen Verfahren dar. Da die Lösung in der Form einer polynomiellen Chaos-Entwicklung gegeben ist, also einer expliziten Beschreibung des funktionalen Zusammenhangs der unabhängigen Zufallsvariablen, sind die nachfolgenden Auswertungen von Funktionalen dieser Lösung (Mittelwert, Varianz, Überschreitungswahrscheinlichkeit) berechnungstechnisch sehr günstig. Zusätzlich wird die Methode mit der nicht-intrusiven Variante verglichen, einem pseudo-Galerkin Verfahren, welches das Residuum in jeder Iteration mit Methoden zur hochdimensionalen Integration basierend auf zufälligen oder deterministischen Abtastverfahren auswertet. Abschließend wird die Methode mit einer Reihe von Testbeispielen mit einfachen Spannungsbedingungen validiert, deren Referenzlösungen über direkte Integrationsverfahren berechnet werden.

A class of abstract stochastic variational inequalities of the second kind described by uncertain parameters is considered within the framework of infinitesimal and large displacement elastoplasticity theory. Particularly the focus is set on the rate-independent evolutionary problem with general hardening whose material characteristics are assumed to have positively-definite distributions. By exhibiting the structure of the evolutionary equations in a convex setting the mathematical formulation is carried over to the computationally more suitable mixed variational description for which the existence and uniqueness of the solution is studied. Time discretised as usual with backward Euler, the inequality is reduced to a minimisation problem for a convex functional on discrete tensor product subspaces whose unique minimiser is obtained via a stochastic closest point projection algorithm based on "white noise analysis". To this end a description in the language of non-dissipative and dissipative operators is used, both employing the stochastic Galerkin method in its fully intrusive or non-intrusive variant. The former method represents the direct, purely algebraic way of computing the response in each iteration of Newton-like methods. As the solution is given in a form of polynomial chaos expansion, i.e. an explicit functional relationship between the independent random variables, the subsequent evaluations of its functionals (the mean, variance, or probabilities of exceedence) are shown to be very cheap, but with limited accuracy. Due to this reason, the intrusive method is contrasted to the less efficient but more accurate non-intrusive variant which evaluates the residuum in each iteration via high-dimensional integration rules based on random or deterministic sampling - Monte Carlo and related techniques. In addition to these, the problem is also solved with the help of the stochastic collocation method via sparse grid techniques. Finally, the methods are validated on a series of test examples in plain strain conditions whose reference solution is computed via direct integration methods.

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Rosic, Bojana: Variational Formulations and Functional Approximation Algorithms in Stochastic Plasticity of Materials. 2012.

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